裴礼文 一元函数的连续性 174页 练习2.3.6 解答

castelu

练习2.3.6：

　　$f(x)$是闭区间$[a,b]$上的函数，满足条件：对每一点$x_0 \in [a,b]$，任取$\epsilon>0$，有$\delta>0$，对于一切$x \in [a,b] \cap (x_0-\delta,x_0+\delta)$有
$$f(x)<f(x_0)+\epsilon$$
　　成立。
（1）证明$f(x)$有最大值；
（2）举例说明$f(x)$未必有下界。

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解：

（1）取
$$\epsilon=1$$
　　那么
$$\bigcup\limits_{x \in [a,b]}{(x,\delta_x)}$$
　　是$[a,b]$的一个开覆盖
　　由有限覆盖定理知，存在有限开覆盖
$$\bigcup\limits_{k=1}^{n}{(x_k,\delta_{x_k})}$$
　　使
$$f(x) < \max\limits_{1 \le k \le n}f(x_k)+1$$
　　即$f(x)$在$[a,b]$上存在上界，从而存在上确界$M$
　　故存在$\left\{x_n \right\}$，使得
$$\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)=M$$
　　在$\left\{x_n \right\}$中存在收敛子序列$\left\{x_{n_k} \right\}$有
$$\lim\limits_{k \to \infty} x_{n_k}=x_0$$
　　且
$$\lim\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k})=M$$
　　显然
$$x_0 \in [a,b]$$
　　下证
$$f(x_0)=M$$
　　显然
$$f(x_0) \le M$$
　　再由
$$f(x)<f(x_0)+\epsilon$$
　　知
$$\forall \epsilon=\frac{1}{m}，\exists \left\{x_{n_k} \right\}的子序列\left\{x_{n_{k_m}} \right\}$$
　　使得
$$M-\frac{1}{m} < f(x_{n_{k_m}}) < f(x_0) + \frac{1}{m}$$
　　由$m$的任意性有
$$M \le f(x_0)$$
　　所以
$$f(x_0)=M$$
　　即$f(x)$有最大值$M$。
（2）令
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}
0,x=0\\
-\frac{1}{x}, 0 < x \le 1
\end{array} \right.$$