裴礼文 一元积分学 320页 练习4.1.8 解答

castelu

练习4.1.8：

　　设$f(x)$在$[a,b]$上二次可微，且$f''(x)$在$[a,b]$上可积，记
$$B_n=\int_a^b f(x)dx-\frac{b-a}{n}\sum\limits_{i=1}^nf\left(a+(2i-1)\frac{b-a}{2n}\right)$$
试证：
$$\lim\limits_{n \to \infty}n^2B_n=\frac{(b-a)^2}{24}[f'(b)-f'(a)]$$

---

解：
　　令
$$x_i=a+(2i-1)\frac{b-a}{2n}$$
　　则
$$\begin{eqnarray*}
n^2B_n&=&n^2\left( \sum\limits_{i=1}^n \int_{x_{\frac{2i-1}{2}}}^{x_{\frac{2i+1}{2}}} f(x)dx-\frac{b-a}{n}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i) \right)\\
&=&n^2\left( \sum\limits_{i=1}^n \int_{x_{\frac{2i-1}{2}}}^{x_{\frac{2i+1}{2}}} \left( f(x)-f(x_i) \right)dx \right)\\
&=&n^2\left( \sum\limits_{i=1}^n \int_{x_{\frac{2i-1}{2}}}^{x_{\frac{2i+1}{2}}} \left( f'(x_i)(x-x_i)+\frac{1}{2}f''(\eta_i)(x-x_i)^2 \right)dx \right), \eta_i \in (x_{\frac{2i-1}{2}},x_{\frac{2i+1}{2}})\\
&=&\frac{1}{2}n^2\left( \sum\limits_{i=1}^n f''(\xi_i) \int_{x_{\frac{2i-1}{2}}}^{x_{\frac{2i+1}{2}}}(x-x_i)^2 dx \right), \xi_i \in [x_{\frac{2i-1}{2}},x_{\frac{2i+1}{2}}]（积分第一中值定理）\\
&=&\frac{1}{3}n^2\left( \sum\limits_{i=1}^n f''(\xi_i)(x_{\frac{2i+1}{2}}-x_{\frac{2i-1}{2}})^3 \right)\\
&=&\frac{(b-a)^2}{24}\left( \sum\limits_{i=1}^n f''(\xi_i)(x_{\frac{2i+1}{2}}-x_{\frac{2i-1}{2}}) \right)\\
&\to&\frac{(b-a)^2}{24} \int_a^b f''(x)dx\\
&=&\frac{(b-a)^2}{24} \left[ f'(b)-f'(a) \right]（当n \to \infty时）\\
\end{eqnarray*}$$