裴礼文 级数 617页 练习5.4.18 解答

castelu

练习5.4.18：
　　设$T_n(x)$为$n$阶三角多项式如下：
$$T_n(x) \equiv \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^n(\alpha_k\cos kx +\beta_k\sin kx)$$
　　试证：
（1）
$$\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n'(x)| \le n^2\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n(x)|；$$
（2）若$\alpha_{n-1}=1$，则
$$\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n(x)| \ge \frac{\pi}{4}。$$

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解：
（1）当$n=1$时，显然成立；当$n \ge 2$时，有
$$T_n'(x) \equiv \sum\limits_{k=1}^n(-k\alpha_k\sin kx+k\beta _k\cos kx) \le \sum\limits_{k=1}^nk\sqrt{\alpha_k^2+\beta_k^2}$$
　　因此
$$2\left(\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n(x)|\right)^2 \ge \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} T_n^2(x)dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum\limits_{k=1}^n (\alpha_k^2+\beta_k^2) \ge \sum\limits_{k=1}^n (\alpha_k^2+\beta_k^2)$$
　　根据$Cauchy-Schwarz$不等式
$$\begin{eqnarray*}
2\left(\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n(x)|\right)^2 \cdot \sum\limits_{k=1}^n k^2 &\ge& \sum\limits_{k=1}^n (\alpha_k^2+\beta_k^2) \cdot \sum\limits_{k=1}^n k^2\\
&\ge&\left(\sum\limits_{k=1}^n k\sqrt{\alpha_k^2+\beta_k^2}\right)^2\\
&\ge&\left(\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n'(x)|\right)^2
\end{eqnarray*}$$
　　从而
$$\begin{eqnarray*}
n^2\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n(x)| &\ge& \frac{\sqrt {3}n^2}{\sqrt{n(n+1)(2n+1)}}\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n'(x)|\\
&\ge&\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n'(x)|
\end{eqnarray*}$$
（2）注意到
$$\int_{-\pi }^{\pi}T_n(x)\cos (n-1)xdx=\pi, \int_{-\pi }^{\pi}|\cos (n-1)x|dx=4$$
　　由
$$\begin{eqnarray*}
\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n(x)|\int_{-\pi }^{\pi}|\cos (n-1)x|dx &\ge& \int_{-\pi }^{\pi}|T_n(x)\cos (n-1)x|dx\\
&\ge&\int_{-\pi }^{\pi}T_n(x)\cos (n-1)xdx=\pi
\end{eqnarray*}$$
　　立得
$$\max\limits_{-\pi \le x \le \pi}|T_n(x)| \ge \frac{\pi}{4}$$