裴礼文 多元函数微分学 647页 练习6.1.21 解答

castelu

练习6.1.21：

　　设$f$在$R^n$中点$x_0$的邻域里有界，记
$$M_f(x_0,\delta)=\sup\left\{f(x)|\rho(x,x_0)<\delta\right\}，$$
$$m_f(x_0,\delta)=\inf\left\{f(x)|\rho(x,x_0)<\delta\right\}，$$
　　则极限
$$w_f(x_0) \equiv \lim\limits_{\delta \to 0^+}[M_f(x_0,\delta)-m_f(x_0,\delta)]$$
　　存在，并称之为$f$在$x_0$处的振幅。
　　试证：$f(x)$在$x_0$处连续的充要条件是$w_f(x_0)=0$。

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解：
　　取$\delta_n=\frac{1}{n}$，则$\lim\limits_{n \to +\infty}\delta_n=0$。由于
$$M_f(x_0,\delta_n)>M_f(x_0,\delta_{n+1}), (n=1,2,\cdots)$$
$$m_f(x_0,\delta_n)<m_f(x_0,\delta_{n+1}), (n=1,2,\cdots)$$
$$M_f(x_0,\delta_n)-m_f(x_0,\delta_n)<M_f(x_0,\delta_{n+1})-m_f(x_0,\delta_{n+1}), (n=1,2,\cdots)$$
　　所以数列$\left\{M_f(x_0,\delta_n)-m_f(x_0,\delta_n)\right\}$是单调递增数列。
$$M_f(x_0,\delta_n)-m_f(x_0,\delta_n) \ge 0$$
　　所以当$\delta \to 0^+$时，$M_f(x_0,\delta_n)-m_f(x_0,\delta_n)$的极限存在。
　　必要性
　　设$f(x)$在$x_0$处连续，即
$$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$$
　　从而当$\delta \to 0^+$时，$x \to x_0$
$$\lim\limits_{\delta \to 0^+}M_f(x_0,\delta)=\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$$
$$\lim\limits_{\delta \to 0^+}m_f(x_0,\delta)=\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$$
　　所以
$$\lim\limits_{\delta \to 0^+}[M_f(x_0,\delta)-m_f(x_0,\delta)]=f(x_0)-f(x_0)=0$$
　　充分性
　　对$\forall \epsilon>0$，$\exists \delta>0$，当$|x-x_0|<\delta$时，有
$$|M_f(x_0,\delta)-m_f(x_0,\delta)|<\epsilon$$
　　从而
$$|f(x)-f(x_0)| \le |\sup f(x)-\inf f(x)|<\epsilon$$
　　所以$f(x)$在$x_0$处连续。