裴礼文 多元函数微分学 742页 练习6.4.18 解答

castelu

练习6.4.18：
　　设一对一变换
$$T=\left\{ \begin{array}{l}
x=x(u,v)\\
y=y(u,v)
\end{array} \right.$$
　　在$D$上具有连续的偏导数$x'_u$，$x'_v$，$y'_u$，$y'_v$，且行列式$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \ne 0$，则$T$将$uv$平面上由分段光滑闭曲线围城的闭区域$D$变为$xy$平面上相应闭区域$D'$且其边界也是分段光滑的闭曲线。

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解：
　　设闭区域$D'$的边界曲线的参数方程为
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=\phi(t)\\
y=\psi(t)
\end{array} \right., t \in [\alpha,\beta]$$
　　并且满足
$$[\phi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2 \ne 0, (\phi(\alpha), \psi(\alpha))=(\phi(\beta), \psi(\beta))$$
　　只要证明闭区域$D'$的边界曲线的原像也是分段光滑的闭曲线即可
　　由于$Jacobi$行列式
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \ne 0$$
　　根据反函数组定理，可以唯一确定变换$T$的逆变换$T^{-1}$
$$T^{-1}=\left\{ \begin{array}{l}
u=u(x,y)\\
v=v(x,y)
\end{array} \right.$$
　　于是闭区域$D$的边界曲线的参数方程为
$$\left\{ \begin{array}{l}
u=u(\phi(t),\psi(t))\\
v=v(\phi(t),\psi(t))
\end{array} \right.$$
　　显然它也是闭曲线，现证它是分段光滑的
$$\left\{ \begin{array}{l}
u'(t)=u'(x)\phi'(t)+u'(y)\psi'(t)\\
v'(t)=v'(x)\phi'(t)+v'(y)\psi'(t)
\end{array} \right.$$
　　易知
$$[u'(t)]^2+[v'(t)]^2 \ne 0$$
　　所以闭区域$D$的边界曲线也是分段光滑的闭曲线。