蓝以中上册 向量空间与矩阵 141页 习题五21 解答

castelu

习题五21：
　　设$B$为数域$K$上的可逆$n$阶方阵，又设
$$U=\left( \begin{array}{l}
u_1\\
u_2\\
\vdots\\
u_n
\end{array} \right), V=\left( \begin{array}{l}
v_1\\
v_2\\
\vdots\\
v_n
\end{array} \right) (u_i, v_j \in K)$$
　　令$A=B+UV'$。证明：当$\gamma=1+V'B^{-1}U \ne 0$时，
$$A^{-1}=B^{-1}-\frac{1}{\gamma}(B^{-1}U)(V'B^{-1})$$

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解法1：
$$\begin{eqnarray*}
A(B^{-1}-\frac{1}{\gamma}(B^{-1}U)(V'B^{-1}))&=&(B+UV')(B^{-1}-\frac{1}{\gamma}(B^{-1}U)(V'B^{-1}))\\
&=&E-\frac{1}{\gamma}UV'B^{-1}+UV'B^{-1}-\frac{1}{\gamma}UV'B^{-1}UV'B^{-1}\\
&=&E+\frac{\gamma-1}{\gamma}UV'B^{-1}-\frac{\gamma-1}{\gamma}UV'B^{-1}\\
&=&E
\end{eqnarray*}$$
　　于是
$$A^{-1}=B^{-1}-\frac{1}{\gamma}(B^{-1}U)(V'B^{-1})$$

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解法2：
　　这是$Sherman-Morrison$恒等式
　　考虑线性方程组
$$(B+UV')X=W$$
　　以$B^{-1}$左乘等式两端，并令$B^{-1}U=Z$，$B^{-1}W=Y$，得到
$$X+ZV'X=Y$$
　　注意到$V'X \in K$，记为$\alpha$，以$V'$左乘等式两端，得到
$$\alpha+\alpha V'Z=V'Y$$
　　由于$V'Z \in K$，$V'Y \in K$，解得
$$\alpha=\frac{V'Y}{1+V'Z}$$
　　所以原线性方程组可以改写为
$$\begin{eqnarray*}
X&=&Y-\alpha Z\\
&=&B^{-1}W-B^{-1}U(1+V'B^{-1}U)^{-1}V'B^{-1}W\\
&=&(B^{-1}-B^{-1}U(1+V'B^{-1}U)^{-1}V'B^{-1})W\\
&=&(B^{-1}-\frac{1}{\gamma}(B^{-1}U)(V'B^{-1})W
\end{eqnarray*}$$
　　于是
$$A^{-1}=B^{-1}-\frac{1}{\gamma}(B^{-1}U)(V'B^{-1})$$