蓝以中上册 双线性函数与二次型 370页 习题四7 解答

castelu

习题四7：
　　设$A$为$n$阶实对称矩阵，$|A|<0$。证明：存在实的$n$维向量$X$，使$X'AX<0$。

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解：
　　由于$A$为$n$阶实对称矩阵
　　故存在$n$阶正交矩阵$T$，使得
$$T^{-1}AT=T'AT=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_1}&{}&{}&{}\\
{}&{\lambda_2}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\lambda_n}
\end{array}} \right)$$
　　其中
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$$
　　是$A$的特征值
　　由于
$$|A|=\prod\limits_{i=1}^n \lambda_i<0$$
　　故
$$\lambda_i(i=1,2\cdots,n)$$
　　中至少有一个负数
　　不妨设
$$a_1<0$$
　　令
$$X=T(1,0,\cdots,0)'$$
　　则
$$\begin{eqnarray*}
X‘AX&=&(1,0,\cdots,0)T’AT(1,0,\cdots,0)'\\
&=&(1,0,\cdots,0)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_1}&{}&{}&{}\\
{}&{\lambda_2}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\lambda_n}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}\\
{0}\\
{\vdots}\\
{0}
\end{array}} \right)\\
&=&a_1<0
\end{eqnarray*}$$