蓝以中下册 一元多项式环 164页 习题一13 解答

castelu

习题一13：
　　设
$$f_1(x),\cdots,f_m(x),g_1(x),\cdots,g_n(x)$$
　　都是多项式，而且
$$(f_i(x),g_j(x))=1(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$$
　　求证
$$(f_1(x)f_2(x) \cdots f_m(x),g_1(x)g_2(x) \cdots g_n(x))=1$$

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解：
　　先证如果
$$(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1$$
　　那么
$$(f(x),g(x)h(x))=1$$
　　由题设可知，存在多项式
$$u_1(x),v_1(x),u_2(x),v_2(x)$$
　　使得
$$\left\{ \begin{array}{l}
u_1(x)f(x)+v_1(x)g(x)=1\\
u_2(x)f(x)+v_2(x)g(x)=1
\end{array} \right.$$
　　将上述两式相乘，得
$$[u_1(x)u_2(x)f(x)+v_1(x)u_2(x)g(x)+u_1(x)v_2(x)h(x)]f(x)+[v_1(x)v_2(x)]g(x)h(x)=1$$
　　所以
$$(f(x),g(x)h(x))=1$$
　　由题设知
$$\left\{ \begin{array}{l}
(f_1(x),g_1(x))=1\\
(f_1(x),g_2(x))=1\\
\cdots\\
(f_1(x),g_n(x))=1
\end{array} \right.$$
　　反复应用上述的结论可知，有
$$(f_1(x),g_1(x)g_2(x) \cdots g_n(x))=1$$
　　同理可证
$$\left\{ \begin{array}{l}
(f_2(x),g_1(x)g_2(x) \cdots g_n(x))=1\\
\cdots\\
(f_m(x),g_1(x)g_2(x) \cdots g_n(x))=1
\end{array} \right.$$
　　对于上面$m$个式子，再反复应用上述的结论，有
$$(f_1(x)f_2(x) \cdots f_m(x),g_1(x)g_2(x) \cdots g_n(x))=1$$