蓝以中下册 多元多项式环 219页 习题二11 解答

castelu

习题二11：
　　设$A$是域$K$上的$n$阶方阵。若存在$K$上$n$阶方阵$B$，使
$$AB-BA=aE+A(a \in K)$$
　　试求$A$的特征多项式。

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解：
　　因
$$C=aE+A=AB-BA$$
　　由《蓝以中下册 幂零线性变换的Jordan标准型 81页 习题一11 解答》知$C$的特征多项式为$\lambda^n$
　　在$C$内$A$相似于若尔当形$J$：
$$T^{-1}AT=J=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{J_1}&{}&{}&{}\\
{}&{J_2}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{J_s}
\end{array}} \right),J_i=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_i}&{1}&{}&{}&{}\\
{}&{\lambda_i}&{1}&{}&{}\\
{}&{}&{\lambda_i}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\ddots}&{1}\\
{}&{}&{}&{}&{\lambda_i}
\end{array}} \right)_{n_i \times n_i}$$
　　从而
$$T^{-1}(aE+A)T=aE+J=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{aE+J_1}&{}&{}&{}\\
{}&{aE+J_2}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{aE+J_s}
\end{array}} \right)$$
　　已知$C$为幂零矩阵，故
$$a+\lambda_i=0(i=1,2,\cdots,s)$$
　　即
$$\lambda_i=-a$$
　　而$A$的特征多项式为
$$\begin{eqnarray*}
|\lambda E-A|&=&|\lambda E-J|=|\lambda_1 E-J_1||\lambda_2 E-J_2| \cdots |\lambda_s E-J_s|\\
&=&(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2} \cdots (\lambda-\lambda_s)^{n_s}=(\lambda+a)^n
\end{eqnarray*}$$