实数

castelu

　　实数由有理数与无理数两部分组成。有理数可用分数形式$\frac{p}{q}(p$、$q$为整数，$q \ne 0)$表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。有理数和无理数统称为实数。
　　现定义两个实数的大小关系。

定义　给定两个非负实数
$$x = a_0.a_1a_2 \cdots a_n \cdots ,y = b_0.b_1b_2 \cdots b_n$$
　　其中$a_0$，$b_0$为非负整数，$a_k$，$b_k\left( k=1,2,\cdots \right)$为整数，$0 \le a_k \le 9$，$0 \le b_k \le 9$。若有
$$a_k=b_k,k = 0,1,2,\cdots,$$
　　则称$x$与$y$相等，记为$x=y$；若$a_0 > b_0$或存在非负整数$l$，使得
$$a_k=b_k\left( k = 0,1,2,\cdots,l \right)而a_{l+1} > b_{l+1}，$$
　　则称$x$大于$y$或$y$小于$x$，分别记为$x > y$或$y < x$。
　　对于负实数$x$，$y$，若按上述规定分别有$-x=-y$与$-x >-y$，则分别称$x=y$与$x<y$。另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数。

命题　设$x = a_0.a_1a_2 \cdots$与$y = b_0.b_1b_2 \cdots$为两个实数，则$x>y$的等价条件是：存在非负整数$n$，使得
$$x_n > \bar y_n$$
　　其中$x_n$表示$x$的$n$位不足近似，$\bar y_n$表示$y$的$n$位过剩近似。