上确界与下确界

castelu

定义1　设$S$是$R$中的一个数集。若数$\eta$满足：
（i）对一切$x \in S$，有$x \le \eta$，即$\eta$是$S$的上界；
（ii）对任何$\alpha < \eta$，存在$x_0 \in S$，使得$x_0 > \alpha$，即$\eta$又是$S$的最小上界，则称数$\eta$为数集$S$的上确界，记作：
$$\eta = \sup S$$


定义2　设$S$是$R$中的一个数集。若数$\xi$满足：
（i）对一切$x \in S$，有$x \ge \xi$，即$\xi$是$S$的下界；
（ii）对任何$\beta > \xi$，存在$x_0 \in S$，使得$x_0 < \beta$，即$\xi$又是$S$的最大下界，则称数$\xi$为数集$S$的下确界，记作：
$$\xi = \inf S$$

　　上确界与下确界统称为确界。