连续函数的局部性质

castelu

定理1（局部有界性）　若函数$f$在点$x_0$连续，则$f$在某$U\left( x_0 \right)$内有界。

定理2（局部保号性）　若函数$f$在点$x_0$连续，且$f\left( x_0 \right) > 0$（或$<0$），则对任何正数$r < f\left( x_0 \right)$（或$r < -f\left( x_0 \right)$），存在某$U\left( x_0 \right)$，使得对一切$x \in U\left( x_0 \right)$有
$$f\left( x \right) > r（或f\left( x \right) < -r）。$$

定理3（四则运算）　若函数$f$和$g$在点$x_0$连续，则$f \pm g$，$f \cdot g$，$\frac{f}{g}$（这里$g\left( x_0 \right) \ne 0$）也都在点$x_0$连续。

定理4　若函数$f$在点$x_0$连续，$g$在点$u_0$连续，$u_0=f\left( x_0 \right)$，则复合函数$g \circ f$在点$x_0$连续。