介值性定理

castelu

定理（介值性定理）　若函数$f$在闭区间$\left[ a,b \right]$上连续，且$f\left( a \right) \ne f\left( b \right)$。若$\mu$为介于$f\left( a \right)$与$f\left( b \right)$之间的任何实数（$f\left( a \right) < \mu < f\left( b \right)$或$f\left( a \right) > \mu > f\left( b \right)$），则至少存在一点$x_0 \in \left( a,b \right)$，使得
$$f\left( x_0 \right) = \mu。$$
　　这个定理表明，若$f$在$\left [ a,b \right]$上连续，又不妨设$f\left( a \right) < f\left( b \right)$，则$f$在$\left[ a,b \right]$上必能取得区间$\left[ f(a),f(b) \right]$上的一切值，即有
$$\left[ f\left( a \right),f\left( b \right) \right] \subset f\left( \left[ a,b \right] \right)。$$
　　应用介值性定理，我们还容易推得连续函数的下述性质：若$f$在区间$I$上连续且不是常量函数，则值域$f(I)$也是一个区间；特别，若$I$为闭区间$\left[ a,b \right]$，$f$在$\left[ a,b \right]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，则$f\left( \left[ a,b \right] \right) = \left[ m,M \right]$；又若$f$为$\left[ a,b \right]$上的增（减）连续函数且不为常数，则
$$f\left( \left[ a,b \right] \right) = \left[ f\left( a \right),f\left( b \right) \right]（\left[ f\left( b \right),f\left( a \right) \right]）。$$

推论（根的存在定理）　若函数$f$在闭区间$\left[ a,b \right]$上连续，且$f\left( a \right)$与$f\left( b \right)$异号（即$f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$），则至少存在一点$x_0 \in \left( a,b \right)$，使得
$$f\left( x_0 \right) = 0，$$
　　即方程$f\left( x \right) = 0$在$\left( a,b \right)$内至少有一个根。