微分的运算法则

castelu

　　由导数与微分的关系，我们能立刻推出如下微分运算法则：
1、${\rm d}\left[ u\left( x \right) \pm v\left( x \right) \right]={\rm d}u\left( x \right) \pm {\rm d}v\left( x \right)$；
2、${\rm d}\left[ u\left( x \right)v\left( x \right) \right]=v\left( x \right){\rm d}u\left( x \right)+u\left( x \right){\rm d}v\left( x \right)$；
3、${\rm d}\left( \frac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)} \right)=\frac{v\left( x \right){\rm d}u\left( x \right)-u\left( x \right){\rm d}v\left( x \right)}{v^2\left( x \right)}$；
4、${\rm d}(f \circ g\left( x \right))=f'\left( u \right)g'\left( x \right){\rm d}x$，其中$u=g\left( x \right)$。
　　在上述复合函数的微分运算法则中，由于${\rm d}u=g'\left( x \right){\rm d}x$，所以它也可写作
$${\rm d}y=f'\left( u \right){\rm d}u。$$
　　这与（4）式在形式上完全相同，即（4）式不仅在$x$为自变量时成立，当它是另一可微函数的因变量时也成立。这个性质通常称为一阶微分形式的不变性。