Lagrange中值定理

castelu

定理（Lagrange中值定理）　若函数$f$满足如下条件：
（i）$f$在闭区间$[a,b]$上连续；
（ii）$f$在开区间$(a,b)$内可导，
　　则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得
$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。$$
　　显然，特别当$f(a)=f(b)$时，本定理的结论即为Rolle定理的结论。这表明Rolle定理是Lagrange定理的一个特殊情形。
　　Lagrange中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线$y=f(x)$上至少存在一点$(\xi,f(\xi))$，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线。
　　定理的结论称为Lagrange公式。
　　Lagrange公式还有下面几种等价表示形式，供读者在不同场合选用：
$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)，a< \xi <b；$$$$f(b)-f(a)=f'(a+ \theta(b-a))(b-a)，0< \theta <1；$$$$f(a+h)-f(a)=f'(a+ \theta h)h，0< \theta <1。$$
　　值得注意的是，Lagrange公式无论对于$a<b$，还是$a>b$都成立，而$\xi$则是介于$a$与$b$之间的某一定数。而上面两式的特点，在于把中值点$xi$表示成了$a+ \theta(b-a)$，使得不论$a$，$b$为何值，$\theta$总可为小于$1$的某一正数。

推论1　若函数$f$在区间$I$上可导，且$f'(x) \equiv 0$，$x \in I$，则$f$为$I$上的一个常量函数。

推论2　若函数$f$和$g$均在区间$I$上可导，且$f'(x) \equiv g'(x)$，$x \in I$，则在区间$I$上$f(x)$与$g(x)$只相差某一常数，即
$$f(x)=g(x)+c（c为某一常数）。$$

推论3（导数极限定理）　设函数$f$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内连续，在$U^\circ (x_0)$内可导，且极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f'(x)$存在，则$f$在点$x_0$可导，且
$$f'(x_0)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f'(x)。$$