Taylor公式

castelu

　　我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数$f$在点$x_0$可导，则有
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)。$$
　　即在点$x_0$附近，用一次多项式$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$逼近函数$f(x)$时，其误差为$(x-x_0)$的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为$o((x-x_0)^n)$，其中$n$为多项式的次数。为此，我们考察任一$n$次多项式
$$p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ \cdots + a_n(x-x_0)^n。$$
　　逐次求它在点$x_0$处的各阶导数，得到
$$p_n(x_0)=a_0，p_n'(x_0)=a_1，p_n''(x_0)=2!a_2，\cdots，p_n^{(n)}(x_0)=n!a_n，$$
　　即
$$a_0=p_n(x_0)，a_1=\frac{p_n'(x_0)}{1!}，a_2=\frac{p_n''(x_0)}{2!}，\cdots，a_n=\frac{p_n^{(n)}(x_0)}{n!}。$$
　　由此可见，多项式$p_n(x)$的各项系数由其在点$x_0$的各阶导数值所唯一确定。
　　对于一般函数$f$，设它在点$x_0$存在直到$n$阶的导数。由这些导数构造一个$n$次多项式
$$T_n(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n，$$
　　称为函数$f$在点$x_0$处的泰勒（Taylor）多项式，$T_n(x)$的各项系数$\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^n (k=1,2,\cdots,n)$称为泰勒（Taylor）系数。

定理1（Taylor公式）　若函数$f$在点$x_0$存在直至$n$阶导数，则有$f(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n)$，即
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)。$$

　　定理中$R_n(x)=f(x)-T_n(x)$称为Taylor公式的余项，形如$o((x-x_0)^n)$的余项称为佩亚诺（Peano）型余项。所以上式又称为带有Peano型余项的Taylor公式。

注1　若$f(x)$在点$x_0$附近满足
$$f(x)=p_n(x)+o((x-x_0)^n)，$$

　　其中$p_n(x)$为$n$阶多项式，这时并不意味着$p_n(x)$必定就是$f$的Taylor多项式$T_n(x)$。

注2　满足上式要求（即带有Peano型误差）的$n$次逼近多项式$p_n(x)$是唯一的。

　　综合定理1和上述注2，若函数$f$满足定理1的条件时，满足上式要求的逼近多项式$p_n(x)$只可能是$f$的Taylor多项式$T_n(x)$。
　　以后用得较多的是Taylor公式在$x_0=0$时的特殊形式：
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)。$$
　　它也称为带有Peano余项的Maclaurin公式。
　　上面我们从微分近似出发，推广得到用$n$次多项式逼近函数的Taylor公式。它的Peano型余项只是定性地告诉我们：当$x \to x_0$时，逼近误差是较$(x-x_0)^n$高阶的无穷小量。现在我们将Taylor公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。

定理2（Taylor定理）　若函数$f$在$[a,b]$上存在直至$n$阶的连续导函数，在$(a,b)$内存在$(n+1)$阶导函数，则对任意给定的$x$，$x_0 \in [a,b]$，至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}。$$

　　上式同样称为Taylor公式，它的余项为
$$R_n(x)=f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，$$
$$\xi =x_0+ \theta(x-x_0) (0< \theta <1)，$$
　　称为Largrange型余项。所以上式又称为带有Lagrange型余项的Taylor公式。
　　注意到$n=0$时，上式即为Lagrange中值公式
$$f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)。$$
　　所以，Taylor定理可以看作Lagrange中值定理的推广。
　　当$x_0=0$时，得到Taylor公式
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} (0< \theta <1)。$$
　　上式也称为带有Lagrange余项的Maclaurin公式。

　　设函数$f$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有$n+1$阶连续导函数。令$x \in U(x_0)$，$u(t)=(x-t)^n$，$v(t)=f(t)$，$t \in [x_0,x]$（或$[x,x_0]$）。利用推广的定积分分部积分公式得
$$\int_{x_0}^x {x_t}^nf^{(n+1)}(t)dt=[(x-t)^nf^{(n)}(t)+n(x-t)^{n-1}f^{(n-1)}(t)+\cdots+n!f(t)]_{x_0}^x+\int_{x_0}^x0 \cdot f(t)dt$$
$$=n!f(x)-n![f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n]$$
$$=n!R_n(x)，$$
　　其中$R_n(x)$即为Taylor公式的$n$阶余项。由此求得
$$R_n(x)=\frac{1}{n!} \int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt，$$
　　这就是Taylor公式的积分型余项。
　　由于$f^{(n+1)}(t)$连续，$(x-t)^n$在$[x_0,x]$（或$[x,x_0]$）上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将上式写作
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi) \int_{x_0}^x (x-t)^ndt$$
$$=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}，$$
　　其中$\xi=x_0+ \theta(x-x_0)$，$0 \le \theta \le 1$。这就是Largrange型余项。
　　如果直接用积分第一中值定理于上式，则得
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n(x-x_0)，$$
$$\xi=x_0+ \theta(x-x_0)，0 \le \theta \le 1。$$
　　由于
$$(x-\xi)^n(x-x_0)=[x-x_0- \theta(x-x_0)]^n(x-x_0)$$
$$=(1-\theta)^n(x-x_0)^{n+1}，$$
　　因此又可进一步把$R_n(x)$改写为
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(x_0+ \theta(x-x_0))(1- \theta)^n(x-x_0)^{n+1}，$$
$$0 \le \theta \le 1。$$
　　特别当$x_0=0$时，又有
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\theta x)(1- \theta)^nx^{n+1}，0 \le \theta \le 1。$$
　　公式称为Taylor公式的Cauchy型余项。