函数的拐点

castelu

定义　设曲线$y=f(x)$在点$x_0,f(x_0)$处有穿过曲线的切线。且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点。

　　由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点。

定理1　若$f$在$x_0$二阶可导，则$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点的必要条件是$f''(x)=0$。

定理2　设$f$在$x_0$可导，在某邻域$U^\circ (x_0)$内二阶可导。若在$U_+^\circ (x_0)和U_-^\circ (x_0)$上$f''(x)$的符号相反，则$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点

　　必须指出：若$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的一个拐点，$y=f(x)$在$x_0$的导数不一定存在。