聚点定理

castelu

定义1　设$S$为数轴上的点集，$\xi$为定点（它可以属于$S$，也可以不属于$S$）。若$\xi$的任何邻域内都含有$S$中无穷多个点，则称$\xi$为点集$S$的一个聚点。

定义2　对于点集$S$，若点$\xi$的任何$\epsilon$邻域内都含有$S$中异于$\xi$的点，即$U^\circ(\xi;\epsilon)\cap S \ne \emptyset$，则称$\xi$为$S$的一个聚点。

定义3　若存在各项互异的收敛数列$\left\{x_n \right\}\subset S$，则其极限$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}x_n= \xi$称为$S$的一个聚点。

定理（Weierstrass聚点定理）　实轴上的任一有界无限点集$S$至少有一个聚点。

推论（致密性定理）　有界数列必含有收敛子列。