平面曲线的弧长

castelu

　　先建立曲线弧长的概念。
　　设平面曲线$C=\widehat {AB}$。在$C$上从$A$到$B$依次取分点：
$$A=P_0,P_1,P_2,\cdots,P_{n-1},P_n=B，$$
　　它们成为对曲线$C$的一个分割，记为$T$。然后用线段联结$T$中每相邻两点，得到$C$的$n$条弦$\overline {P_{i-1}P_i}(i=1,2,\cdots,n)$，这$n$条弦又成为$C$的一条内接折线。记
$$||T||=\max\limits_{1 \le i \le n}|P_{i-1}P_i|，s_T=\sum\limits_{i=1}^n|P_{i-1}P_i|，$$
　　分别表示最长弦的长度和折线的总长度。

定义1　对于曲线$C$的无论怎样的分割$T$，如果存在有限极限
$$\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}s_T=s，$$
　　则称曲线$C$是可求长的，并把极限$s$定义作为曲线$C$的弧长。

定义2　设平面曲线$C$由参数方程
$$x=x(t)，y=y(t)，t \in [\alpha,\beta]$$
　　给出。如果$x(t)$与$y(t)$在$[\alpha,\beta]$上连续可微，且$x'(t)$与$y'(t)$不同时为零（即$x'^2(t)+y'^2(t) \ne 0$，$t \in [\alpha,\beta]$），则称$C$为一条光滑曲线。

定理　设曲线$C$由参数方程
$$x=x(t)，y=y(t)，t \in [\alpha,\beta]$$
　　给出。若$C$为一条光滑曲线，则$C$是可求长的，且弧长为
$$s=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt。$$
　　若曲线$C$由直角坐标方程
$$y=f(x)，x \in [a,b]$$
　　表示，把它看作参数方程时，即为
$$x=x，y=f(x)，x \in [a,b]。$$
　　所以当$f(x)$在$[a,b]$上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线。这时弧长公式为
$$s=\int_a^b \sqrt{1+f'^2(x)}dx。$$
　　又若曲线$C$由极坐标方程
$$r=r(\theta)，\theta \in [\alpha,\beta]$$
　　表示，把它化为参数方程，则为
$$x=r(\theta) \cos \theta，y=r(\theta) \sin \theta，\theta \in [\alpha,\beta]。$$

　　由于
$$x'(\theta)=r'(\theta) \cos \theta-r(\theta) \sin \theta，$$
$$y'(\theta)=r'(\theta) \sin \theta+r(\theta) \cos \theta，$$
$$s'^2(\theta)+y'^2(\theta)=r^2(\theta)+r'^2(\theta)，$$
　　因此当$r'(\theta)$在$[\alpha,\beta]$上连续，且$r(\theta)$与$r'(\theta)$不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线。这时弧长公式为
$$s=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d \theta。$$
　
注意　若把定理公式中的积分上限改为$t$，就得到曲线由端点$P_0$到动点$P(x(t),y(t))$的弧长，即
$$s(t)=\int_{\alpha}^t \sqrt{x'^2(\tau)+y'^2(\tau)}d \tau。$$

　　由于被积函数是连续的，因此
$$\frac{ds}{dt}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}，$$
$$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}。$$
　　特别称$s(t)$的微分$ds$为弧微分。$PR$为曲线在点$P$处的切线，在直角三角形$PQR$中，$PQ$为$dx$，$QR$为$dy$，$PR$则为$ds$。这个三角形称为微分三角形。