无穷积分的收敛判别

castelu

　　由定义知道，无穷积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$收敛与否，取决于函数$F(u)=\int_a^u f(x)dx$在$u \to +\infty$时是否存在极限。因此可由函数极限的Cauchy准则导出无穷积分收敛的Cauchy准则。

定理1（Cauchy准则）　无穷积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$收敛的充要条件是：任给$\epsilon>0$，存在$G \ge a$，只要$u_1$、$u_2>G$，便有
$$|\int_a^{u_2} f(x)dx-\int_a^{u_1} f(x)dx|=|\int_{u_1}^{u_2} f(x)dx|< \epsilon。$$

　　首先给出无穷积分的绝对收敛判别法。
　　由于$\int_a^u |f(x)|dx$关于上限$u$是单调递增的，因此$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$收敛的充要条件是$\int_a^{u_2} |f(x)|dx$存在上界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法。

定理2（比较法则）　设定义在$[a,+\infty)$上的两个函数$f$和$g$都在任何有限区间$[a,u]$上可积，且满足
$$|f(x)| \le g(x)，x \in [a,+\infty)，$$
　　则当$\int_a^{+\infty} g(x)dx$收敛时$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$必收敛（或者，当$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$发散时，$\int_a^{+\infty} g(x)dx$必发散）。

　　上述比较法则的极限形式如下：

推论1　若$f$和$g$都在任何$[a,u]$上可积，$g(x)>0$，且$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{|f(x)|}{g(x)}=c$，则有：
（i）当$0<c<+\infty$时，$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$与$\int_a^{+\infty} g(x)dx$同敛态；
（ii）当$c=0$时，由$\int_a^{+\infty} g(x)dx$收敛可推知$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$也收敛；
（iii）当$c=+\infty$时，由$\int_a^{+\infty} g(x)dx$发散可推知$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$也发散。
　　当选用$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}$作为比较对象$\int_a^{+\infty} g(x)dx$时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论（称为Cauchy判别法）。

推论2　设$f$定义于$[a,+\infty)(a>0)$，且在任何有限区间$[a,u]$上可积，则有
（i）当$|f(x)| \le \frac{1}{x^p}$，$x \in [a,+\infty)$，且$p>1$时$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$收敛；
（ii）当$|f(x)| \ge \frac{1}{x^p}$，$x \in [a,+\infty)$，且$p \le 1$时$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$发散。

推论3　设$f$定义于$[a,+\infty)$，在任何有限区间$[a,u]$上可积，且
$$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^p|f(x)|=\lambda。$$
　　则有：
（i）当$p>1$，$0 \le \lambda < +\infty$时，$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$收敛；
（ii）当$p \ge 1$，$0 < \lambda \le +\infty$时，$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$发散。
　　对于$\int_{-\infty}^b |f(x)|dx$的比较判别亦可类似地进行。

　　这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。

定理3（Dirichlet判别法）　若$F(u)=\int_a^u f(x)dx$在$[a,+\infty)$上有界，$g(x)$在$[a,+\infty)$上当$x \to +\infty$时单调趋于$0$，则$\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx$收敛。

定理4（Abel判别法）　若$\int_a^{+\infty} f(x)dx$收敛，$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调有界，则$\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx$收敛。