数项级数

castelu

定义1　给定一个数列${u_n}$，对它的各项依次用“$+$”号连接起来的表达式
$$u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$$
　　称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中$u_n$称为数项级数的通项。

　　数项级数也常写作：$\sum\limits_{i=1}^{\infty}u_n$或简单写作$\sum\limits u_n$。
　　数项级数的前$n$项和，记为
$$S_n=\sum\limits_{k=1}^n u_k=u_1+u_2+\cdots+u_n，$$
　　称它为数项级数的第$n$个部分和，也简称部分和。

定义2　若数项级数的部分和数列$S_n$收敛于$S$（即$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}S_n=S$），则称数项级数收敛，称$S$为数项级数的和，记作
$$S=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots或S=\sum\limits u_n。$$
　　若${S_n}$是发散数列，则称数项级数发散。

定理1（Cauchy准则）　级数收敛的充要条件是：任给正数$\epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$m>N$以及对任意的正整数$p$，都有
$$|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{m+p}|< \epsilon。$$

　　根据定理，我们立刻可写出级数发散的充要条件：存在某正数$\epsilon_0$，对任何正整数$N$，总存在正整数$m_0$（$>N$）和$p_0$，有
$$|u_{m_0+1}+u_{m_0+2}+\cdots+u_{m_0+p_0}|< \epsilon_0。$$
　　由定理立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件。

推论　若级数收敛，则
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n=0$$

定理2　若级数$\sum\limits u_n$与$\sum\limits v_n$都收敛，则对任意常数$c$，$d$，级数$\sum\limits (cu_n+dv_n)$亦收敛，且
$$\sum\limits (cu_n+dv_n)=c \sum\limits u_n+d \sum\limits v_n。$$

　　由定理，级数$\sum\limits u_n$的敛散性取决于：对任给正数$\epsilon$，是否存在充分大的正数$N$，使得当$n>N$及对任意正整数$p$恒有定理1的不等式成立。由此可见，一个级数是否收敛与级数前面有限项的取值无关。从而我们可以得到以下定理。

定理3　去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。

　　由此定理知道，若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，其和为$S$，则级数
$$u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots$$
　　也收敛，且其和$R_n=S-S_n$。上式称为级数$\sum\limits u_n$的第$n$个余项（或简称余项），它表示以部分和$S_n$代替$S$时所产生的误差。

定理4　在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。