正项级数

castelu

　　若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数。如果级数的各项都是负数，则它乘以$-1$后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。

定理1　正项级数$\sum\limits u_n$收敛的充要条件是：部分和数列${S_n}$有界，即存在某正数$M$，对一切正整数$n$有$S_n<M$。

定理2（比较原则） 设$\sum\limits u_n$和$\sum\limits v_n$是两个正项级数，如果存在某正数$N$，对一切$n>N$都有
$$u_n \le v_n，$$
　　则
（i）若级数$\sum\limits v_n$收敛，则级数$\sum\limits u_n$也收敛；
（ii）若级数$\sum\limits u_n$发散，则级数$\sum\limits v_n$也发散。

　　在实际使用上，比较原则的下述极限形式通常更为方便。

推论　设
$$u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots，$$
$$v_1+v_2+\cdots+v_n+\cdots$$
　　是两个正项级数，若
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=l，$$
　　则
（i）当$0<l<+\infty$时，级数$\sum\limits u_n$、$\sum\limits v_n$同时收敛或发散；
（ii）当$l=0$且级数$\sum\limits v_n$收敛时，级数$\sum\limits u_n$也收敛；
（iii）当$l=+\infty$且级数$\sum\limits v_n$发散时，级数$\sum\limits u_n$也发散。

定理3（D'Alembert判别法，或称比式判别法）　设$\sum\limits u_n$为正项级数，且存在某正整数$N_0$及常数$q$（$0<q<1$）。
（i）若对一切$n>N_0$，成立不等式
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le q，$$
　　则级数$\sum\limits u_n$收敛。
（ii）若对一切$n>N_0$，成立不等式
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1，$$
　　则级数$\sum\limits u_n$发散。

推论1（比式判别法的极限形式）　若$\sum\limits u_n$为正项级数，且
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q，$$
　则
（i）当$q<1$时，级数$\sum\limits u_n$收敛；
（ii）当$q>1$或$q=+\infty$时，级数$\sum\limits u_n$发散。

推论2　设$\sum\limits u_n$为正项级数。
（i）若$\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q<1$，则级数收敛；
（ii）若$\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q>1$，则级数发散。

定理4（Cauchy判别法，或称根式判别法）　设$\sum\limits u_n$为正项级数，且存在某正数$N_0$及正常数$l$，
（i）若对一切$n>N_0$，成立不等式
$$\sqrt[n]{u_n} \le l <1，$$
　则级数$\sum\limits u_n$收敛；
（ii）若对一切$n>N_0$，成立不等式
$$\sqrt[n]{u_n} \ge 1，$$
　则级数$\sum\limits u_n$发散。

推论1（根式判别法的极限形式）　设$\sum\limits u_n$为正项级数，且
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l，$$
　　则
（i）当$l<1$时，级数$\sum\limits u_n$收敛；
（ii）当$l>1$时，级数$\sum\limits u_n$发散。

推论2　设$\sum\limits u_n$为正项级数，且
$$\overline {\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}} \sqrt[n]{u_n}=l，$$
　　则当
（i）$l<1$时级数收敛；
（ii）$l>1$时级数发散。

定理5（积分判别法）　设$f$为$[1,+\infty)$上非负减函数，那么正项级数$\sum\limits f(n)$与反常积分$\int_1^{+\infty} f(x)dx$同时收敛或同时发散。

定理6（Raabe判别法）　设$\sum\limits u_n$为正项级数，且存在某正整数$N_0$及常数$r$，
（i）若对一切$n>N_0$，成立不等式
$$n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n}) \ge r >1，$$
　　则级数$\sum\limits u_n$收敛；
（ii）若对一切$n>N_0$，成立不等式
$$n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n}) \le 1，$$
　　则级数$\sum\limits u_n$发散。

推论（Raabe判别法的极限形式）　设$\sum\limits u_n$为正项级数，且极限
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})=r$$
　　存在，则
（i）当$r>1$时，级数$\sum\limits u_n$收敛；
（ii）当$r<1$时，级数$\sum\limits u_n$发散。