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现在讨论定义在区间$[a,b]$上函数项级数
$$u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$$
的连续性、逐项求积与逐项求导的性质,这些性质可由函数列的相应性质推出。
定理1(连续性) 若函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在区间$[a,b]$上一致收敛,且每一项都连续,则其和函数在$[a,b]$上也连续。
这个定理指出:在一致收敛条件下,(无限项)求和运算与求极限运算可以交换顺序,即
$$\sum\limits {\lim\limits_{x \rightarrow x_0}u_n(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\sum\limits u_n(x)}。$$
定理2(逐项求积) 若函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在$[a,b]$上一致收敛,且每一项$u_n(x)$都连续,则
$$\sum\limits \int_a^b u_n(x)dx=\int_a^b \sum\limits u_n(x)dx。$$
定理3(逐项求导) 若函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在$[a,b]$上每一项都有连续的导函数,$x_0 \in [a,b]$为$\sum\limits u_n(x)$的收敛点,且$\sum\limits u_n'(x)$在$[a,b]$上一致收敛,则
$$\sum\limits {\frac{d}{dx}u_n(x)}=\frac{d}{dx}{\sum\limits u_n(x)}。$$
定理2和定理3指出,在一致收敛条件下,逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导。 |
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