余弦级数

castelu

　　设$f$是以$2l$为周期的偶函数，或是定义在$[-l,l]$上的偶函数，则在$[-l,l]$上，$f(x)\cos nx$是偶函数，$f(x)\sin nx$是奇函数。因此，$f$的Fourier系数是
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx=0 \end{array} \right.$$
　　于是$f$的Fourier级数只含有余弦函数的项，即
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\cos \frac{n\pi x}{l}，$$
　　其中$a_n$如上式所示。右边的级数称为余弦级数。
　　若$l=\pi$，则偶函数$f$所展开成余弦级数为
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\cos nx，$$
　　其中
$$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\cos nxdx，n=0,1,2,\cdots。$$