正弦级数

castelu

　　若$f$是以$2l$为周期的奇函数，或是定义在$[-l,l]$上的奇函数，则可推得
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx=0\\ b_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx \end{array} \right.$$
　　所以当$f$为奇函数时，它的Fourier级数只含有正弦函数的项，即
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\sin \frac{n\pi x}{l}，$$
　　其中$b_n$如上式所示。右边的级数称为正弦级数。
　　当$l=\pi$且$f$为奇函数时，则它展开成的正弦级数为
$$f(x) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\sin nx，$$
　　其中
$$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\sin nxdx。$$