二元函数的极限

castelu

定义1　设$f$为定义在$D \subset R^2$上的二元函数，$P_0$为$D$的一个聚点，$A$是一个确定的实数。若对任给正数$\epsilon$，总存在某正数$\delta$，使得当$P \in U^*(P_0;\delta) \cap D$时，都有
$$|f(P)-A|<\epsilon，$$
　　则称$f$在$D$上当$P \to P_0$时，以$A$为极限，记作
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D} f(P)=A。$$
　　在对于$P \in D$不致产生误解时，也可简单地写作
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P)=A。$$
　　当$P$，$P_0$分别用坐标$(x,y)$，$(x_0,y_0)$表示时，上式也常写作
$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=A。$$

定理1　$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D}f(P)=A$的充要条件是：对于$D$的任一子集$E$，只要$P_0$是$E$的聚点，就有
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in E}f(P)=A。$$

推论1　设$E_1 \subset D$，$P_0$是$E_1$的聚点。若$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in E_1}f(P)$不存在，则$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D}f(P)$也不存在。

推论2　设$E_1$，$E_2 \subset D$，$P_0$是它们的聚点，若存在极限
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in E_1}f(P)=A_1，\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in E_2}f(P)=A_2，$$
但$A_1 \ne A_2$，则$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D}f(P)$不存在。

推论3　极限$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D}f(P)$存在的充要条件是：对于$D$中任一满足条件$P_n \ne P_0$且$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}P_n=P_0$的点列$\left\{P_n \right\}$，它所对应的数列$\left\{f(P_n) \right\}$都收敛。

　　下面我们再给出当$P(x,y) \to P_0(x_0,y_0)$时，$f(x,y)$趋于$+\infty$（非正常极限）的定义。

定义2　设$D$为二元函数$f$的定义域，$P_0(x_0,y_0)$是$D$的一个聚点。若对任给正数$M$，总存在点$P_0$的一个$\delta$邻域，使得当$P(x,y) \in U^*(P_0;\delta) \cap D$时，都有$f(P)>M$，则称$f$在$D$上当$P \to P_0$时，存在非正常极限$+\infty$，记作
$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=+\infty$$
　　或
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P)=+\infty。$$
　　仿此可类似地定义：
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P)=-\infty与\lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P)=\infty。$$

　　在上一段所研究的极限$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$中，两个自变量$x$，$y$同时以任何方式趋于$x_0$，$y_0$。这种极限也称为重极限。在这一段里，我们要考察$x$与$y$依一定的先后顺序相继趋于$x_0$与$y_0$时$f$的极限，这种极限称为累次极限。

定义3　设$E_x$，$E_y \subset R$，$x_0$是$E_x$的聚点，$y_0$是$E_y$的聚点，二元函数$f$在集合$D=E_x\times E_y$上有定义。若对每一个$y \in E_y$，$y \ne y_0$，存在极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_0,x \in E_x}f(x,y)$，由于此极限一般与$y$有关，因此记作
$$\phi(y)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0,x \in E_x}f(x,y)，$$
　　而且进一步存在极限
$$L=\lim\limits_{y \rightarrow y_0,y \in E_y} \phi(y)，$$
　　则称此极限为二元函数$f$先对$x（\to x_0）$后对$y（\to y_0）$的累次极限，并记作
$$L=\lim\limits_{y \rightarrow y_0,y \in E_y}\lim\limits_{x \rightarrow x_0,x \in E_x}f(x,y)$$
　　或简记作
$$L=\lim\limits_{y \rightarrow y_0}\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x,y)。$$

　　类似地可以定义先对$y$后对$x$的累次极限
$$K=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\lim\limits_{y \rightarrow y_0}f(x,y)。$$
　　累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系。

定理2　若$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$存在重极限
$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$$
　　与累次极限
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\lim\limits_{y \rightarrow y_0}f(x,y)，$$
　　则它们必相等。

　　由这个定理可导出如下两个便于应用的推论。

推论1　若累次极限
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\lim\limits_{y \rightarrow y_0}f(x,y)，\lim\limits_{y \rightarrow y_0}\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x,y)$$
　　和重极限
$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$$
　　都存在，则三者相等。

推论2　若累次极限
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\lim\limits_{y \rightarrow y_0}f(x,y)与\lim\limits_{y \rightarrow y_0}\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x,y)$$
　　存在但不相等，则重极限$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$必不存在。

　　定理2保证了在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论。
　　推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可被用来否定重极限的存在性。