方向导数

castelu

定义　设三元函数$f$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某邻域$U(P_0) \subset R^3$内有定义，$l$为从点$P_0$出发的射线，$P(x,y,z)$为$l$上且含于$U(P_0)$内的任一点，以$\rho$表示$P$与$P_0$两点间的距离。若极限
$$\lim\limits_{\rho \rightarrow 0^+} \frac{f(P)-f(P_0)}{\rho}=\lim\limits_{\rho \rightarrow 0^+} \frac{\Delta_lf}{\rho}$$
　　存在，则称此极限为函数$f$在点$P_0$沿方向$l$的方向导数，记作
$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0}，f_l(P_0)或f_l(x_0,y_0,z_0)。$$

　　容易看到，若$f$在点$P_0$存在关于$x$的偏导数，则$f$在点$P_0$沿$x$轴正向的方向导数恰为
$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0}=\frac{\partial f}{\partial x}|_{P_0}。$$
　　当$l$的方向为$x$轴的负方向时，则有
$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0}=-\frac{\partial f}{\partial x}|_{P_0}。$$
　　沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出。

定理　若函数$f$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$可微，则$f$在点$P_0$处沿任一方向$l$的方向导数都存在，且
$$f_l(P_0)=f_x(P_0)\cos \alpha+f_y(P_0)\cos \beta+f_z(P_0)\cos \gamma，$$
　　其中$\cos \alpha$，$\cos \beta$，$\cos \gamma$为方向$l$的方向余弦。