复系数与实系数多项式的因式分解

castelu

代数基本定理　每个次数$\ge 1$的复系数多项式在复数域中有一根。

　　利用根与一次因式的关系，代数基本定理显然可以等价地叙述为：
　　每个次数$\ge 1$的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式。
　　由此可知，在复数域上所有次数大于$1$的多项式全是可约的。换句话说，不可约多项式只有一次多项式。于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：

复系数多项式因式分解定理　每个次数$\ge 1$的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。

　　因此，复系数多项式具有标准分解式
$$f(x)=a_n(x-\alpha_1)^{l_1}(x-\alpha_2)^{l_2} \cdots (x-\alpha_s)^{l_s}，$$
　　其中$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$是不同的复数，$l_1$，$l_2$，$\cdots$，$l_s$是正整数。标准分解式说明了每个$n$次复系数多项式恰有$n$个复根（重根按重数计算）。
　　下面来讨论实系数多项式的分解。
　　对于实系数多项式，以下的事实是基本的，即，如果$\alpha$是实系数多项式$f(x)$的复根，那么$\alpha$的共轭数$\bar \alpha$也是$f(x)$的根。因为设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0，$$
　　其中$a_0$，$a_1$，$\cdots$，$a_n$是实数。由假设
$$f(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_0=0。$$
　　两边取共轭数，有
$$f(\overline {\alpha})=a_n\overline {\alpha}^n+a_{n-1}\overline {\alpha}^{n-1}+\cdots+a_0=0，$$
　　这就是说，$f(\overline {\alpha})=0$，$\overline {\alpha}$也是$f(x)$的根。
　　由此可以证明

实系数多项式因式分解定理　每个次数$\ge 1$的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。

　　因此，实系数多项式具有标准分解式
$$f(x)=a_n(x-c_1)^{l_1} \cdots (x-c_s)^{l_s}(x^2+p_1x+q_1)^{k_1} \cdots (x^2+p_rx+q_r)^{k_r}，$$
　　其中$c_1$，$\cdots$，$c_s$，$p_1$，$\cdots$，$p_r$，$q_1$，$\cdots$，$q_r$全是实数，$l_1$，$\cdots$，$l_s$，$k_1$，$\cdots$，$k_r$是正整数，并且$x^2+p_ix+q_i$（$i=1,2,\cdots,r$）是不可约的，也就是适合条件$p_i^2-4q_i<0$，$i=1,2,\cdots,r$。
　　代数基本定理虽然肯定了$n$次方程有$n$个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法。高次方程的求根问题还远远没有解决，特别是在应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支。