n级行列式

castelu

　　$n$级行列式
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n}\end{array}} \right| $$
　　等于所有取自不同行不同列的$n$个元素的乘积
$$a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$$
　　的代数和，这里$j_1j_2 \cdots j_n$是$1$，$2$，$\cdots$，$n$的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当$j_1j_2 \cdots j_n$是偶排列时，带有正号，当$j_1j_2 \cdots j_n$是奇排列时，带有负号。这一定义可写成
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| =\sum\limits_{j_1j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}，$$
这里$\sum\limits_{j_1j_2 \cdots j_n}$表示对所有$n$级排列求和。
　　定义表明，为了计算$n$级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号。
　　由定义立即看出，$n$级行列式是由$n!$项组成的。
　　上三角形行列式
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| =a_{11}a_{22} \cdots a_{n n}。$$
　　上三角形行列式的值等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积。
　　对角形行列式
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} d_1&0&\cdots&0\\ 0&d_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&d_n \end{array}} \right|=d_1d_2 \cdots d_n。$$
　　对角形行列式的值等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积。