二次型规范形的唯一性

castelu

　　我们看到，经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵。由关于矩阵乘积的秩的定理，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换之后，二次型矩阵的秩是不变的。标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数。因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩。
　　至于标准形中的系数，就不是唯一确定的。
　　在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关。
　　下面只就复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题。先看复数域的情形。
　　设$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是一个复系数的二次型。由关于二次型标准形的定理，经过一适当的非退化线性替换后，$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$变成标准形。不妨假定它的标准形是
$$d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ry_r^2，d_i \ne 0，i=1,2,\cdots,r。$$
　　易知$r$就是$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的矩阵的秩。因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换
$$ \left\{ \begin{array}{l} y_1=\frac{1}{\sqrt{d_1}}z_1\\ \cdots\\ y_r=\frac{1}{\sqrt{d_r}}z_r\\ \cdots\\ y_{r+1}=z_{r+1}\\ \cdots\\ y_n=z_n \end{array} \right. $$
$d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ry_r^2$就变成
$$z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2。$$
　　上式称为复二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的规范形。显然，规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有

定理1　任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。

　　定理1换个说法就是，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ &&1&&&\\ &&&0&&\\ &&&&\ddots&\\ &&&&&0 \end{array}} \right) $$
的对角矩阵。从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。
　　再来看实数域的情形。
　　设$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是一实系数的二次型。由关于二次型标准形的定理，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$变成标准形
$$d_1y_1^2+\cdots+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_ry_r^2，$$
　　其中$d_i>0$，$i=1,2,\cdots,r$；$r$是$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的矩阵的秩。因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换
$$ \left\{ \begin{array}{l} y_1=\frac{1}{\sqrt{d_1}}z_1\\ \cdots\\ y_r=\frac{1}{\sqrt{d_r}}z_r\\ \cdots\\ y_{r+1}=z_{r+1}\\ \cdots\\ y_n=z_n \end{array} \right. $$
$d_1y_1^2+\cdots+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_ry_r^2$就变成
$$z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2。$$
　　上式称为实二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的规范形。显然，规范形完全被$r$，$p$这两个数所决定。

定理2　任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。

　　这个定理通常称为惯性定理。

定义1　在实二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的规范形中，正平方项的个数$p$称为$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的正惯性指数；负平方项的个数$r-p$称为$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的负惯性指数；它们的差$p-(r-p)=2p-r$称为$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的符号差。

　　应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的。因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数。
　　对于矩阵，我们有类似关于对称矩阵合同于对角矩阵的定理的结论。

定理3　（1）任一复对称矩阵$A$都合同于一个下述形式的对角矩阵：
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&&&&&&\\ &1&&&&&\\ &&\ddots&&&&\\ &&&1&&&\\ &&&&0&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&0 \end{array}} \right) $$
　　其中对角线上$1$的个数$r$等于$A$的秩。
（2）任一实对称矩阵$A$都合同于一个下述形式的对角矩阵：
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&&&&&&&&\\ &\ddots&&&&&&&\\ &&1&&&&&&\\ &&&-1&&&&&\\ &&&&\ddots&&&&\\ &&&&&-1&&&\\ &&&&&&0&&\\ &&&&&&&\ddots&\\ &&&&&&&&0 \end{array}} \right)$$
　　其中对角线上$1$的个数$p$及$-1$的个数$r-p$（$r$是$A$的秩）都是唯一确定的，分别称为$A$的正、负惯性指数。它们的差$2p-r$称为$A$的符号差。