初等因子

castelu

　　我们假定讨论中的数域$P$是复数域。
　　不变因子是矩阵的相似不变量。为了得到若尔当标准形，再引入

定义　把矩阵$A$（或线性变换$\mathcal A$）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为$1$的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵$A$（或线性变换$\mathcal A$）的初等因子。

　　如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似。反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子。
　　综上所述，即得

定理1　两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。
　　初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量。但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些。
　　在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明关于多项式的最大公因式的一个性质：
　　如果多项式$f_1(\lambda)$，$f_2(\lambda)$都与$g_1(\lambda)$，$g_2(\lambda)$互素，则$(f_1(\lambda)g_1(\lambda),f_2(\lambda)g_2(\lambda))=(f_1(\lambda),f_2(\lambda)) \cdot (g_1(\lambda),g_2(\lambda))$。

引理　设
$$A(\lambda)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1(\lambda)g_1(\lambda)&0\\ 0&f_2(\lambda)g_2(\lambda) \end{array}} \right) 。$$
$$B(\lambda)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_2(\lambda)g_1(\lambda)&0\\ 0&f_1(\lambda)g_2(\lambda) \end{array}} \right) 。$$
　　如果多项式$f_1(\lambda)$，$f_2(\lambda)$都与$g_1(\lambda)$，$g_2(\lambda)$互素，则$A(\lambda)$和$B(\lambda)$等价。

　　下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，它不必事先知道不变因子。

定理2　首先用初等变换化特征矩阵$\lambda E-A$为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是$A$的全部初等因子。