直线、平面的方程

castelu

　　一个点和一个非零向量确定一条直线。
　　取仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$，设已知点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，非零向量$v=(X,Y,Z)$，称为直线$l$的方向向量。现在来求过点$M_0$且方向向量为$v$的直线$l$的方程。
　　点$M(x,y,z) \in l$的充要条件是$\vec {M_0M} \parallel v$，即存在唯一的实数$t$使
$$\vec {M_0M}=tv。$$
设$M_0$，$M$的位置向量由$r_0$，$r$表示，则由上式得
$$r=r_0+tv。$$
称为直线$l$的向量式参数方程，$t$为参数，其几何意义是$t$为$M$在$l$上的标架$\left\{M_0;v \right\}$下的坐标。
　　将上式用坐标写出得
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=x_0+tX,\\
y=y_0+tY,\\
z=z_0+tZ,
\end{array} \right.$$
　　称为直线的参数方程。
　　从上式消去参数$t$，可得到直线的标准方程（或点向式方程）
$$\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}。$$
　　上式中的$X$，$Y$，$Z$中有可能为零，于是出现了零在分母上的无意义的情况。为此我们约定：上式中某式子的分母为零就意味着分子为零，比如，$Z=0$，应理解为
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y},\\
z-z_0=0.
\end{array} \right.$$
　　如果$Y=Z=0$，就表示
$$\left\{ \begin{array}{l}
y-y_0=0,\\
z-z_0=0.
\end{array} \right.$$
　　上式中的$X$，$Y$，$Z$称为直线$l$的方向数，它们是$l$的方向向量$v$的坐标。由于$kv$（$k \ne 0$）也是$l$的方向向量，所以$kX$，$kY$，$kZ$也是$l$的方向数。
　　点和两个不共线的向量确定一个平面。
　　取定仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$。已知一个点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，两个不共线的向量$v_i(X_i,Y_i,Z_i)$，$i=1,2$。我们来求由点$M_0$和$v_1$，$v_2$确定的平面$\Pi$的方程。
　　点$M(x,y,z) \in \Pi$的充要条件是$\vec {M_0M}$，$v_1$，$v_2$共面。因为$v_1$，$v_2$不共线，可构成$\Pi$上的一个基，所以$\vec {M_0M}$，$v_1$，$v_2$共面的充要条件是存在唯一的一对实数$\lambda$，$\mu$，使得
$$\vec {M_0M}=\lambda v_1+\mu v_2。$$
　　若$M_0$，$M$的位置向量记为$r_0$，$r$，则上式可写成
$$r=r_0+\lambda v_1+\mu v_2。$$
　　上式称为平面的向量式参数方程，其中$\lambda$，$\mu$称为参数，$v_1$，$v_2$称为平面$\Pi$的方位向量。将坐标代入上式中，上式可写成
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=x_0+\lambda X_1+\mu X_2,\\
y=y_0+\lambda Y_1+\mu Y_2,\\
z=z_0+\lambda Z_1+\mu Z_2,
\end{array} \right.$$
　　上式称为平面的坐标式参数方程。
　　根据三向量共面的充要条件是其混合积为零这一特点，平面$\Pi$的方程还可表示为
$$(r-r_0,v_1,v_2)=0，$$
　　或
$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
x-x_0&y-y_0&z-z_0\\
X_1&Y_1&Z_1\\
X_2&Y_2&Z_2
\end{array}} \right|=0，$$
　　即
$$Ax+By+Cz+D=0。$$
　　其中$$A=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
Y_1&Z_1\\
Y_2&Z_2
\end{array}} \right|，B=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
Z_1&X_1\\
Z_2&X_2
\end{array}} \right|，C=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
X_1&Y_1\\
X_2&Y_2
\end{array}} \right|$$不全为零，$D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$。上式称为平面$\Pi$的一般方程，它是三元一次方程。

引理　设平面$\Pi$的方程为
$$Ax+By+Cz+D=0，$$
　　则向量$v=(X,Y,Z)$平行于平面$\Pi$的充要条件是
$$AX+BY+CZ=0。$$

定理　在空间中取定一个仿射标架，则平面的方程是三元一次方程，反之，任意一个三元一次方程表示一个平面。

　　经过不共线三点$M_i(x_i,y_i,z_i)$（$i=1,2,3$）的平面方程可写为
$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
x-x_1&y-y_1&z-z_1\\
x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\
x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1
\end{array}} \right|=0，$$
　　或
$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
x&y&z&1\\
x_1&y_1&z_1&1\\
x_2&y_2&z_2&1\\
x_3&y_3&z_3&1
\end{array}} \right|。$$
　　若$M_1(a,0,0)$，$M_2(0,b,0)$，$M_3(0,0,c)$，其中，$abc \ne 0$，则上式可化简为
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1，$$
　　上式称为平面的截距式方程，$a$，$b$，$c$分别是平面在$x$轴，$y$轴和$z$轴上的截距。
　　在直角标架下，经过点$M_0(x_0,y_0,z_0)$且垂直于向量$n=(A,B,C)$的平面$\Pi$是唯一确定的。设$M(x,y,z) \in \Pi$，由$\vec {M_0M}$与$n$垂直，得
$$\vec {M_0M} \cdot n=0，$$
　　从而得
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0，$$
　　上两式均称为平面$\Pi$的点法式方程，与平面$\Pi$垂直的向量$n$称为平面$\Pi$的法向量。上式也可写成$Ax+By+Cz+D=0$，其中$D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$。由此可见，在直角坐标系下，平面方程的一次项系数就是这个平面的一个法向量的坐标。

命题　在仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$下，设$v_1$，$v_2$是平面$\Pi$的任何两个方位向量，则平面$\Pi$的法向量为$v_1 \times v_2=Ae_2 \times e_3+Be_3 \times e_1+Ce_1 \times e_2$。平面$\Pi$的方程$Ax+By+Cz+D=0$中的系数$A$，$B$，$C$为法向量$v_1 \times v_2$在基底$e_2 \times e_3$，$e_3 \times e_1$，$e_1 \times e_2$下的系数。