柱面和锥面

castelu

定义1　空间一直线$l$沿着一条曲线$C$平行移动时所产生的曲面称为柱面。$l$称为母线，$C$称为准线。

　　对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向是唯一的（平面除外）。与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。
　　设柱面的准线$C$为
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x,y,z)=0,\\
F_2(x,y,z)=0,
\end{array} \right.$$
　　母线方向为$v=(l,m,n)$。我们来求柱面的方程。
　　点$M(x,y,z)$在此柱面上当且仅当$M$在某一条母线上，即准线$C$上有一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，使$M$在过$M_0$且方向为$v$的直线上。因此，有
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x_0,y_0,z_0)=0,\\
F_2(x_0,y_0,z_0)=0,\\ x=x_0+lu,\\ y=y_0+mu,\\ z=z_0+nu, \end{array} \right.$$
消去$x_0$，$y_0$，$z_0$，得
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x-lu,y-mu,z-nu)=0,\\
F_2(x-lu,y-mu,z-nu)=0.
\end{array} \right.$$
　　再消去参数$u$，得到$x$，$y$，$z$的一个方程，就是所求柱面的方程。
　　母线平行于$z$轴的圆柱面方程中不含$z$，这个结论对于一般的柱面也成立。

定理　若一个柱面的母线平行于$z$轴，则它的方程中不含$z$。反之，一个三元方程如果不含$z$，则它一定表示一个母线平行于$z$轴的柱面。

　　方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示母线平行于$z$轴的柱面，它与$xOy$面的交线是椭圆
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\\
z=0.
\end{array} \right.$$
　　因而这个柱面称为椭圆柱面。
　　方程
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1，x^2=2py$$
　　分别表示母线平行于$z$轴的双曲柱面、抛物柱面。
　　设空间曲线$C$的方程为
$$\left\{ \begin{array}{l}
F(x,y,z)=0,\\
G(x,y,z)=0.
\end{array} \right.$$
　　如果我们可以在方程组中分别消去坐标$y$和$z$后得到与之等价的方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x,y)=0,\\
G_1(x,z)=0.
\end{array} \right.$$
　　则由定理，方程组中$F_1(x,y)=0$表示母线平行于$z$轴的柱面，此柱面称为空间曲线$C$向$xOy$面投影的投影柱面，而曲线
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x,y)=0,\\
z=0.
\end{array} \right.$$
　　称为空间曲线$C$在$xOy$面上的投影曲线。同理，$G_1(x,z)=0$表示母线平行于$y$轴的柱面，它是空间曲线$C$向$xOy$面投影的投影柱面，曲线
$$\left\{ \begin{array}{l}
G_1(x,z)=0,\\
y=0.
\end{array} \right.$$
　　为空间曲线$C$在$xOz$面上的投影曲线。

定义2　空间中过一定点$M_0$且与定曲线$C$相交的动直线$l$所产生的曲面叫做锥面，定点$M_0$称为锥面的顶点，定曲线$C$叫准线，动直线$l$称为母线．

　　设锥面的顶点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，准线$C$的方程为
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x,y,z)=0,\\
F_2(x,y,z)=0.
\end{array} \right.$$
　　我们来求这个锥面的方程。
　　点$M(x,y,z)$在此锥面上当且仅当$M$在一条母线上，即准线上有一点$M_i(x_i,y_i,z_i)$使得$M_i$在直线$M_0M$上。因此有
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x_1,y_1,z_1)=0,\\
F_2(x_2,y_2,z_2)=0,\\ x_1=x_0+(x-x_0)u,\\ y_1=y_0+(y-y_0)u,\\ z_1=z_0+(z-z_0)u. \end{array} \right.$$
　　消去$x_1$，$y_1$，$z_1$得
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x_0+(x-x_0)u,y_0+(y-y_0)u,z_0+(z-z_0)u)=0,\\
F_2(x_0+(x-x_0)u,y_0+(y-y_0)u,z_0+(z-z_0)u)=0.
\end{array} \right.$$
　　消去$u$，就得到$x$，$y$，$z$的一个方程，它就是锥面的方程。
　　如果锥面有一对称轴，它的每条母线与对称轴所夹的锐角都相等，则此锥面称为圆锥面，母线与对称轴夹的锐角称为圆锥面的半顶角。我们来求圆锥面的方程。
　　选取圆锥面的顶点$O$为坐标原点，圆锥面的对称轴为$z$轴建立右手直角坐标系。点$M(x,y,z)$在圆锥面上当且仅当$\vec {OM}$与$z$轴的坐标向量$e_3=(0,0,1)$的夹角为半顶角$\theta$或$\pi-\theta$，因此
$$|\cos \angle (\vec {OM},e_3)|=\cos \theta，$$
　　于是得
$$x^2+y^2-\tan^2 \theta z^2=0，$$
　　一个函数$F(x,y,z)$称为$k$次齐次函数，如果以$tx$，$ty$，$tz$代替$x$，$y$，$z$时，有
$$F(tx,ty,tz)=t^kF(x,y,z)。$$
　　其中$t$是任意实数。此时，方程$F(x,y,z)=0$称为$x$，$y$，$z$的$k$次齐次方程。
　　由此定义，圆锥面方程
$$x^2+y^2-\tan^2 \theta z^2=0$$
　　是二次齐次方程。