直径面、对称面与直径、对称轴

castelu

定义1　二次曲面上两个点的连线段称为二次曲面的一条弦。

定理1　二次曲面的沿非渐近方向$v=(X,Y,Z)$的所有平行弦的中点轨迹在一个平面上，且该平面方程为$v \cdot \nabla F(x,y,z)=0$，即
$$XF_1(x,y,z)+YF_2(x,y,z)+ZF_3(x,y,z)=0，$$
　　或
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0。$$

定义2　二次曲面沿非渐近方向$X$：$Y$：$Z$的平行弦中点所在的平面称为二次曲面共轭于方向$X$：$Y$：$Z$的直径面。

推论　假如二次曲面$S$的中心存在，那么$S$的任何直径面一定通过$S$的中心。进一步，线心曲面的任何直径面通过它的中心直线，面心曲面的直径面就是它的中心平面。

　　如果方向$X$：$Y$：$Z$是二次曲面的渐近方向，那么平行于它的弦不存在。但是如果$\Phi_i(X,Y,Z)$（$i=1,2,3$）不全为零，那么方程
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0$$
　　仍表示一平面，为了方便，把此平面叫做共轭于渐近方向$X$：$Y$：$Z$的直径面。如果
$$\Phi_i(X,Y,Z)=0（i=1,2,3），$$
　　那么
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0$$
　　不表示任何平面。

定义3　满足
$$\Phi_i(X,Y,Z)=0（i=1,2,3）$$
　　的渐近方向$X$：$Y$：$Z$称为二次曲面的奇异方向，简称奇向。

定理2　二次曲面有奇向当且仅当$I_3=0$。

定理3　二次曲面$S$的奇向平行于$S$的任何直径面。

定义4　如果两方向$X$：$Y$：$Z$，$X'$：$Y'$：$Z'$满足
$$X\Phi_1(X',Y',Z')+Y\Phi_2(X',Y',Z')+Z\Phi_3(X',Y',Z')=0，$$
　　或
$$(X,Y,Z)\overline A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
X'\\
Y'\\
Z'
\end{array}} \right)=0。$$
　　那么这两个方向称为一对共轭方向。

　　由此定义我们立即得到以下命题。

命题1
（1）奇向与任何方向都共轭；
（2）方向$X'$：$Y'$：$Z'$与非奇向$X$：$Y$：$Z$共轭当且仅当$X'$：$Y'$：$Z'$与共轭于$X$：$Y$：$Z$的直径面平行。

定义5　二次曲面$S$的两直径面的交线称为$S$的一条直径，两条沿共轭方向的直径称为$S$的一对共轭直径。

　　对中心曲面而言，过中心的任何平面都是直径面，因而过中心的每一条直线都是$S$的直径。

定义6　平面$\Pi$称为二次曲面$S$的对称面，如果对于任意点$M_1 \in S$，它关于$\Pi$的对称点$M_2 \in S$。

定义7　与共轭方向垂直的直径面称为二次曲面$S$的主径面。

　　由定义7知，若$\Pi$是$S$的主径面，则$S$的某一组平行弦的中点经过此平面$\Pi$，且这组平行弦与$\Pi$垂直，因而主径面是一直径面，且与它所共轭的方向$X$：$Y$：$Z$垂直，于是$\Pi$的方程为
$$XF_1(x,y,z)+YF_2(x,y,z)+ZF_3(x,y,z)=0，$$
　　或
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0。$$
　　因为$X$：$Y$：$Z$与$Pi$垂直，所以$X$：$Y$；$Z$与$\Phi_1(X,Y,Z)$：$\Phi_2(X,Y,Z)$：$\Phi_3(X,Y,Z)$共线，即
$$\frac{\Phi_1(X,Y,Z)}{X}=\frac{\Phi_2(X,Y,Z)}{Y}=\frac{\Phi_3(X,Y,Z)}{Z}。$$
　　令比值为$\lambda$，故
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi_1(X,Y,Z)=\lambda X,\\
\Phi_2(X,Y,Z)=\lambda Y,\\
\Phi_3(X,Y,Z)=\lambda Z.
\end{array} \right.$$
　　写成矩阵形式有
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
X\\
Y\\
Z
\end{array}} \right)=\lambda\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
X\\
Y\\
Z
\end{array}} \right)，$$
　　或
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}-\lambda&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
X\\
Y\\
Z
\end{array}} \right)=0。$$
　　因为$X$，$Y$，$Z$不全为$0$，所以由齐次线性方程组有非零解的条件得
$$\det (\overline A-\lambda E)=-\lambda^3+I_1\lambda^2-I_2\lambda+I_3=0。$$

定义8　二次曲面$S$的奇向及$S$的主径面的法向称为$S$的主方向。

　　由
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi_1(X,Y,Z)=\lambda X,\\
\Phi_2(X,Y,Z)=\lambda Y,\\
\Phi_3(X,Y,Z)=\lambda Z.
\end{array} \right.$$
　　或
$$\det (\overline A-\lambda E)=-\lambda^3+I_1\lambda^2-I_2\lambda+I_3=0$$
　　知道，二次曲面$S$的主方向为矩阵$\overline A$的特征方向。由此给出了求$S$的主方向的方法：
（1）先求出$\overline A$的特征根，
（2）再将特征根代入
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi_1(X,Y,Z)=\lambda X,\\
\Phi_2(X,Y,Z)=\lambda Y,\\
\Phi_3(X,Y,Z)=\lambda Z.
\end{array} \right.$$
　　求出主方向。由
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi_1(X,Y,Z)=\lambda X,\\
\Phi_2(X,Y,Z)=\lambda Y,\\
\Phi_3(X,Y,Z)=\lambda Z.
\end{array} \right.$$
　　知，$\lambda=0$对应的主方向是$S$的奇向，非零特征根对应的主方向为$S$的非渐近方向，因为
$$\Phi(X,Y,Z)=X\Phi_1(X,Y,Z)+Y\Phi_2(X,Y,Z)+Z\Phi_3(X,Y,Z)$$
$$=\lambda(X^2+Y^2+Z^2)=0。$$
　　求出主方向$X$：$Y$：$Z$后，代入
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0$$
　　得到与其共轭的主径面（与特征根$\lambda$对应的主径面）：
$$\lambda(Xx+Yy+Zz)+\Phi_4(X,Y,Z)=0。$$
　　由代数知识知道下列命题。

命题2　二次曲面的不同特征根对应的主方向互相垂直。

　　对于二次曲线而言，同样有弦的概念，直径、对称轴、主轴的定义对应于二次曲面的直径面、对称面、主径面，奇向、共轭方向、共轭直径与主方向可类似地定义。相应有以下结论。

定理1'　二次曲线的沿非渐近方向$X$：$Y$的所有平行弦的中点轨迹在一条直线上，直线方程为
$$XF_1(x,y)+YF_2(x,y)=0，$$
　　或
$$\Phi_1(X,Y)x+\Phi_2(X,Y)y+\Phi_3(X,Y)=0。$$

定理2'　二次曲线有奇向当且仅当$I_2=0$。

定理3'　二次曲线$\Gamma$的奇向平行于$\Gamma$的任何直径。

命题1'
（1）奇向与任何方向共轭；
（2）方向$X'$：$Y'$与非奇向$X$：$Y$共轭当且仅当$X'$：$Y'$与共轭于$X$：$Y$的直径平行。

命题2'　二次曲线的不同特征根对应的主方向互相垂直。

　　求二次曲线的主方向和主轴的步骤是类似的。
　　下面我们来找出方程化简中的直角坐标变换。
　　由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向。因此二次曲面至少有三个主方向。我们选取其中三个两两垂直的主方向并且将它们单位化，设为$e_1$，$e_2$，$e_3$，这样它们就可作为三个坐标向量。
　　因为$\overline A e_i=\lambda_ie_i$，其中，$\lambda_i$是特征根，$e_i$是对应于$\lambda_i$的单位主方向，$e_i$的坐标写成列向量的形式，所以有
$$\delta_{ij}=e_i \cdot e_j=e_i^Te_j。$$
　　作矩阵$T=(e_1,e_2.e_3)=(\overline Ae_1,\overline Ae_2,\overline Ae_3)=(\lambda_1e_1,\lambda_2e_2,\lambda_3e_3)$，
$$T^TAT=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
e_1^T\\
e_2^T\\
e_3^T
\end{array}} \right)(\lambda_1e_1,\lambda_2e_2,\lambda_3e_3)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\lambda_1&0&0\\
0&\lambda_2&0\\
0&0&\lambda_3
\end{array}} \right)。$$
　　故作直角坐标变换$\alpha=T\alpha'$后，二次曲面的方程就化简为
$$\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2a'_{14}x'+2a'_{24}y'+2a'_{34}z'+a'_{44}=0。$$
　　再经过一个适当的移轴（即选取适当的点为新的坐标原点），就可得到用不变量表示的简化方程。
　　对于中心曲面，选取中心作为新的坐标原点，对于线心和面心曲面任取一中心作为新的坐标原点，对无心曲面选取曲面的顶点（对称轴与曲面的交点）为新的坐标原点。
　　寻找直角坐标变换的另一方法是找三个主径面作为新的坐标面。