交比

castelu

　　在中心投影下线段的分比是要改变的。射影平面上经过中心投影后共线四点的交比保持不变。
　　设$A$，$B$，$C$，$D \in \overline {\Pi}$共线，$A$，$B$为通常点，$C \ne B$。先将共线三点的简单比值$(A,B,C)$推广到$C$可以为无穷远点，当$C$为无穷远点时，规定$(A,B,C)=-1$。

定义1　设在$\overline {\Pi}$上四点$A$，$B$，$C$，$D$共线，$A$，$B$为两个不同的通常点，$C \ne B$，$D \ne A$，$B$。称$(A,B,C)$与$(A,B,D)$的比值为$A$，$B$，$C$，$D$的交比，记为$(A,B;C,D)$，即
$$(A,B;C,D)=\frac{A,B,C}{A,B,D}=\frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB} \cdot \frac{DB}{AD}。$$

　　若$A$，$B$，$C$各不相同，当$D=B$时，规定$(A,B;C,D)=0$。利用共线四点的交比，我们可以定义$\overline {\Pi}$上共点的四线的交比。设$l_i$（$i=1,2,3,4$）是过点$O$的四直线，$l_1 \ne l_2$，任取一条不过$O$点的直线$l$，设$ll_i=A_i$（$i=1,2,3,4$）。如果$(A_1,A_2;A_3,A_4)$有定义，则定义共点四线$l_i$（$i=1,2,3,4$）的交比为
$$(l_1,l_2;l_3,l_4)=(A_1,A_2;A_3,A_4)。$$
　　共点四线的交比只与四线的相互位置有关，与截线$l$的选取无关。因而，若$A_i$中有无穷远点，且$A_1$，$A_2$，$A_3$互不相同，$A_4 \ne A_1$，选截线$l'$与$l_i$均不平行，则可以将它们转化为通常点的交比，这样就推广了共线四点的交比的定义，$(l_1,l_2;l_3,l_4)=(A_1,A_2;A_3,A_4)=(A‘_1,A’_2;A‘_3,A’_4)$。
　　利用对偶原理，可以得到下面的定理。

定理　在$\overline {\Pi}$上的共线四点$A$，$B$，$C$，$D$，其中$A$，$B$，$C$各不相同，且$D \ne A$，设$A[a_1,a_2,a_3]$，$B[b_1,b_2,b_3]$，$C[c_1,c_2,c_3]$，$D[d_1,d_2,d_3]$，且
$$(c_1,c_2,c_3)=\lambda_1 (a_1,a_2,a_3)+\mu_1 (b_1,b_2,b_3)，$$
$$(d_1,d_2,d_3)=\lambda_2 (a_1,a_2,a_3)+\mu_2 (b_1,b_2,b_3)，$$
　　则
$$(A,B,C,D)=\frac{\mu_1}{\lambda_1}:\frac{\mu_2}{\lambda_2}。$$

　　因为交比都可转化为通常点的交比，因而有如下性质。
（1）$(A,B;C,D)=(C,D;A,B)=(B,A;D,C)$；
（2）若$D \ne B$，则有
$$(B,A;C,D)=\frac{1}{(A,B;C,D)}=(A,B;D,C)；$$
（3）$(A,B;C,D)=1-(A,C;B,D)$；
（4）设$O$是通常点，$l_i$（$i=1,2,3,4$）是共点于$O$的四直线，用$\angle (l_i,l_j)$表示直线$l_i$绕$O$转到$l_j$的角度，则
$$(l_1,l_2;l_3,l_4)=\frac{\sin \angle (l_1,l_3)}{\sin \angle (l_3,l_2)}:\frac{\sin \angle (l_1,l_4)}{\sin \angle (l_4,l_2)}。$$

定义2　$\overline {\Pi}$上共线四点$A$，$B$，$C$，$D$，若$(A,B,C,D)=-1$，则称它们是调和点列，其中，$D$称为$A$，$B$，$C$的第四调和点，且称$D$是点$C$关于点偶$A$，$B$的调和共轭点。

　　由交比的性质（2），若$D$是$C$关于点偶$A$，$B$的调和共轭点，则$C$是$D$关于点偶$A$，$B$的调和共轭点，这时称$C$，$D$关于A$，$B$调和共轭。
　　又由性质（1），若$C$，$D$关于$A$，$B$调和共轭，则$A$，$B$关于$C$，$D$调和共轭，此时称点偶$C$，$D$与点偶$A$，$B$彼此调和分割。
　　设$A$，$B$，$C \in \overline {\Pi}$均是通常点，若$C$是线段$AB$（指不含无穷远点的部分）的中点，则从$(A,B;C,D)=-1$可推出$D$是直线$AB$上的无穷远点。因而线段$AB$的中点与直线$AB$的无穷远点是关于$A$，$B$调和共轭。
　　类似地，若共点四线$l_i$（$i=1,2,3,4$）满足$(l_1,l_2;l_3,l_4)=-1$，则称$l_i$（$i=1,2,3,4$）为调和线束，$l_4$称为$l_1$，$l_2$，$l_3$的第四调和线。
　　设$O \in \overline {\Pi}$是通常点，$l_i$（$i=1,2,3,4$）是共点于$O$的四条不同直线，若$l_3$是$l_1$与$l_2$所夹的一个角的角平分线，且$(l_1,l_2;l_3,l_4)=-1$，则由公式
$$(l_1,l_2;l_3,l_4)=\frac{\sin \angle (l_1,l_3)}{\sin \angle (l_3,l_2)}:\frac{\sin \angle (l_1,l_4)}{\sin \angle (l_4,l_2)}$$
　　得到$l_4$是$l_1$与$l_2$所夹的另一个角的角平分线，即$l_1$，$l_2$所夹的两个角的角平分线关于$l_1$，$l_2$调和共轭。