发个几题，想看看这里的人水平如何。

lzk05_lzk0530

1.已知a 、b、x 、y 为非负实数,
且a + b = 27. 试求λ的最大值,使得不等式
( aX^2 + by^2 + 4 xy) ^3 ≥λ( ax^2 y + bxy^2 )^ 2 恒成立,并求此时等号成立的条件.
2.设R 是全体实数的集合. 试
求出所有的函数f : R →R,使得对于任意的
x 、y ∈R,都有
f ( xf ( y) ) = xyf ( x + y) .
3.试确定所有的正整数组
( x , y , z) ,使得x^3 - y^3 = z^2 , 其中y 是质数,
其中z不能被y和3整除。 .

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1.、令a = 0 , b = 27 , x = 27 , y = 2 ,则原不等式为
λ≤4.
下面证明λ= 4 时题设不等式恒成立.
只须在原条件下证明
( ax^2 + by^2 + 4 xy)^ 3 ≥4 ( ax + by) ^2 x^2 y^2 . ①
当x 或y 为0 时,式①显然成立.
当x 、y 均大于0 时,式①两边同除以x^3 y^3 并令
t = x/y,
则式①化为(at +b/t+4)^3≥4(a^2 t+b^2/t+2ab),其中t属于正实数。
由于（at+b/t）*（a+b）=a^t+b^2/t+ab(t+1/t)≥a^2 t + b^2/t+2ab,
故只须证明(at+b/t+4)^3≥4(at+b/t)*27       ②
由于at+b/t+4=at+b/t+2+2≥3*( 4(at+b/t) )^(1/3)
故(at +b/t+4)^3≥27*4(at+b/t)
因此,λmax = 4.
仅当at+b/t=2，t=1或x=0，b=0或x=0，y=0或y=0，a=0时式①等号成立。
又a + b = 27 > 2 ,故当且仅当x = 0 , a = 27 , b =
0 或y = 0 , a = 0 , b = 27 或x = 0 , y = 0 时,式①等号
成立.

[ 本帖最后由 lzk05_lzk0530 于 2008-3-22 20:22 编辑 ]

lzk05_lzk0530

2.、由题意知,对任意的x 、y ∈R,都有
f ( xf ( y) ) = xyf ( x + y) . ①
在式①中取x = 0 得f (0) = 0.
在式①中取x = - y 得
f ( - yf ( y) ) = 0. ②
假设存在一个x0 ∈R,且x0 ≠0 ,使得f ( x0 ) ≠0.
在式①中取y 为- yf ( y) ,由f (0) = 0 及式②得
0 = x ( - yf ( y) ) f ( x - yf ( y) ) . ③
在式③中令y = x0 ,得
0 = x ( - x0 f ( x0 ) ) f ( x - x0 f ( x0 ) ) . ④
在式④中令x = x0 f ( x0 ) + x0 ,得
0 = - x0 f ( x0 ) x0 ( f ( x0 ) + 1) f ( x0 ) .
因为x0 ≠0 , f ( x0 ) ≠0 ,则只有f ( x0 ) + 1 = 0 ,即
f ( x0 ) = - 1. ⑤
在式②中令y = x0 ,并利用式⑤得f ( x0 ) = 0 ,这
与假设f ( x0 ) ≠0 矛盾.
故对每一个x ∈R,都有f ( x) = 0.

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3.、由题意,得
( x - y) [ ( x - y) ^2 + 3 xy ] = z^2 . ①
因y 是质数，z不能被y和3整除结合式①,知
( x , y) = 1 , ( x - y ,3) = 1.则( x^2 + xy + y^2 , x - y) = (3 xy , x - y) = 1. ②
由式①、②,得
x - y = m^2 , x^2 + xy + y^2 = n^2 , z = mn,( m、n ∈N+ ) .
故3 y^2 = 4 n^2 - (2 x + y)^ 2
　= (2 n + 2 x + y) (2 n - 2 x - y) .
又y 为质数, 且2 n - 2 x - y < 2 n + 2 x + y , 因
此,有下列3 种情形:
(i) 2 n - 2 x - y = y ,2 n + 2 x + y = 3 y.
得x = 0 ,舍去.
(ii) 2 n - 2 x - y = 3 ,2 n + 2 x + y = y^2 . 于是,
y^2 - 3 = 4 x + 2 y = 4( m^2 + y) + 2 y = 4 m^2 + 6 y ,
即　( y - 3)^ 2 - 4m^2 = 12.
解得y = 7 , m = 1.
所以, x = 8 , y = 7 , z = 13.
(iii) 2 n - 2 x - y = 1 ,2 n + 2 x + y = 3 y2 . 于是,
3 y^2 - 1 = 4 x + 2 y = 4 ( m^2 + y) + 2 y
= 2 (2m^2 + 3 y) ,
即　3 y^2 - 6 y - 3m^2 = m^2 + 1.
所以, m^2 + 1 ≡0 (mod 3) .
但这与m^2 ≡0 ,1 (mod 3) 矛盾.
综上所述,满足条件的正整数组是唯一的,即
(8 ,7 ,13) .

泡面

高......
我是指你的输入速度.....

castelu

只能说我们都太菜了