求证整数

石崇的BOSS · 发表于 2009-4-19 23:55:15

战巡 · 发表于 2009-4-20 20:35:51

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设 $\\displaystyle k_n=\\frac{a^n-b^n}{a-b}+\\frac{b^n-c^n}{b-c}+\\frac{c^n-a^n}{c-a}$

由于a,b,c是方程的解，因此有
$\\displaystyle a^3=a^2+a+1$

$\\displaystyle a^{n+3}=a^{n+2}+a^{n+1}+a^n$
同理
$\\displaystyle b^{n+3}=b^{n+2}+b^{n+1}+b^n$

$\\displaystyle c^{n+3}=c^{n+2}+c^{n+1}+c^n$
全部带入得到
$\\displaystyle k_{n+3}=\\frac{a^{n+3}-b^{n+3}}{a-b}+\\frac{b^{n+3}-c^{n+3}}{b-c}+\\frac{c^{n+3}-a^{n+3}}{c-a}=\\frac{a^{n+2}+a^{n+1}+a^n-b^{n+2}-b^{n+1}-b^n}{a-b}+\\frac{b^{n+2}+b^{n+1}+b^n-c^{n+2}-c^{n+1}-c^n}{b-c}+\\frac{c^{n+2}+c^{n+1}+c^n-a^{n+2}-a^{n+1}-a^n}{c-a}=k_{n+2}+k_{n+1}+k_{n}$

$\\displaystyle k_0=0$

$\\displaystyle k_1=3$
而根据韦达定理
a+b+c=1
$\\displaystyle k_2=2(a+b+c)=2$

这样说明kn完全是整数数列，k2009自然也是整数

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