一道超级变态的中考模拟题

石崇的BOSS

求2²⁰⁰⁹的末5位数字。
（PS：这是初中生做的吗？又不能用计算器，不知道这题怎么会出现在中考的模拟题里？我估计出这题的老师脑袋秀逗了）

秘密时空

用同余,11楼

jyc06

那出题老师sb了

元蛟

如果我没记错的话，在以前初一的数学课本的课后阅读里有提到杨辉三角
首先2^2000=16^500=(3*5+1)^500=7501模3125
即2^2000=1251mod3125
于是2^2009=1251*(2^9)=640512=40512mod3125
又（2^5,3125)=1,且2^2009=0mod2^5=40512mod2^5
所以2^2009=40512mod(3125*2^5)=40512mod100000
所以答案是40512

yefan852

很想知道你用什么软件算的，把最后结果的每一位都显示出来了。

元蛟

there is a willing,there is nothing impossibie!

数学瓜

这个还真是变态啊。

xuan2009

现在中国的教育啊。。。。。唉！

石崇的BOSS

个人认为作为高考题的难度都大了，高考也不会考到这种题的，这种题只适合在数论中出现

670330219

个人认为作为高考题都不为过。。。。

xuan2009

好厉害啊！
那些字是你自己打的吗？还是电脑做的？

石崇的BOSS

你的耐烦心果然够强！

战巡

.................
的确挺BT的.......
不过有时间的话还是可以算出来的
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
因此2^(4n+1)的末位数字都是2，那么2^2009末位也是2
2^2009=2^(4n+1)
n=502
2^2009=2*16^502
16^1=16
16^2=256
16^3=4096
16^4=65536
16^5=1048576
16^6=16777216
因此16^(5n+2)末尾两位数字都是56，16^502末尾两位也是56
2*16^502末尾两位为2*56=112——12
2^16^502=2*16^2*(1048576)^100
这里要算3位，1048576显然太大，很不好算，而对一个数(1000a+100b+10c+d)^n来说，展开式里面带有a的式子系数最小的是1000*n*a*d^(n-1)，而且千位以下全部为0，即a这一项不会影响整个数的末尾3位，这样取出576来算，而且只看其后3位就可以了
576^1=576
576^2=576*576=331776——776
576^3——776*576=446976——976
576^4——976*576=562176——176
576^5——176*576=101376——376
576^6——376*576=216576——576
即576^(5n)末尾3位都是376，1048576^100末尾3位也为376
376*2*16^2=192512——即原式末尾3位为512
原式=2*16^2*(1048576^5)^20
由上面可以知道，(1000a+100b+10c+d)^n中如果n=5，而d或者a为偶数时，a对千位都不会有影响（此时1000n*a*d^(n-1)=5000*a*d^4，比如a为偶数时它就等于10000(a/2)d^4），显然这里是满足的
因此我们仍然用576，而且只取末尾4位来算就可以了
576*576——331776——1776
1776*576——1022976——2976
2976*576——1714176——4176
4176*576——2405376——5376
因此5376就是1048576^5的末尾4位
5376*5376=28901376——1376
1376*5376=7397376——7376
7376*5376=39653376——3376
3376*5376=18149376——9376
9376*5376=50405376——5376
因此5376^(5n)末尾4位都是9376
原式末尾4位为9376*2*16^2=4800512——0512
原式=2*16^2*((...5376)^5)^4，其中...5376=1048576^5
这里和上面一样，满足n=5,d为偶数，因此只用5376算就可以了
5376*5376=28901376——01376
01376*5376=7397376——97376
97376*5376=523493376——93376
93376*5376=501989376——89376
原式=2*16^2(...89376)^4，其中...89376=1048576^25
89376*89376=7988069376——69376
69376*89376=6200549376——49376
49376*89376=4413029376——29376
因此原式最后5位为2*16^2*29376=15040512——40512

最后给出电脑直接算出的答案，以验证结论的正确性
2^2009=58784291598041831640721059900297317581942666346941194264455308125479232583289360069460965699405121019824433389516158094000492490796188432969007685435732643092034554442399887360352654923898902974171610618912504957328187117386950842341026317332718773233103358237779148190179650358079135564562516081648810332848214481400042754868418296221651998157278605568219649390953792425227268163704976021381769156258409778685642966081035151287502869585844829824788935390157871063324138385197912084049961962094914858370754777898867719950514578646749211908564621201347904089822990746021295498658798312326238643788303040512

PS：其实真正算起来也不会这么烦人的，因为笔算竖式乘法是从低位到高位算的，这里只需要算低位的值，高于5位的大可不管，不过这样的题计算量也算是极其恐怖的了