求角度问题

里亦维奇

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，求∠CAD的度数。

里亦维奇

其实也不是很难呀

sunzhibin011

我以为很简单  怎么这么难

战巡

原帖由 里亦维奇 于 2009-5-14 12:09 发表
如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，求∠CAD的度数。
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如图，作∠DAE=60°，交CD于E，在AE上取点F，使得BF=BC，连BE、CF
∠DAE=60°，∠D=90°，所以有AD=1/2AE=1/2AB，AE=AB
易证∠BAE=36°，∠AEB=∠ABE=72°，∠EBC=∠ABC-∠ABE=24°，然后有∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=78°=∠BCE
因此BE=BC=BF
这样就有C、E、F都在以B为圆心，BC为半径的圆上
易证∠AED=30°，∠CEF=180°-30°=150°
因此∠FBC=(180°-150°)*2=60°，△BCF为等边三角形，∠ABF=∠ABC-∠CBF=36°=∠BAF
所以有AF=BF=CF
而∠CFE=∠EBC/2=12°
∠FAC=∠ACF=∠CFE/2=6°
∠DAC=∠DAE+∠CAF=66°