2000 IMO

5601706

设a,b,c为正实数，且满足abc=1，证明

（a-1+1/b）(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1

kuing

据说证法不下十种

数学瓜

我基本看不明白，。

jyc06

(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)<=xyz
之后再代换,u=x-y+z,v=y-z+z,w=z-x+y

高斯门徒

设a=x/y,b=y/z,c=z/x(x,y,z都大于0)得结论化为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)<=xyz
先考虑左式三个都大于0时x,y,z是三角形的三边
由海伦公式得(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)=16s^2/(x+y+z)
易得xyz=4Rs  s=(1/2)r(x+y+z)         (s是面积,R是外接圆半径,r是内接圆半径)
所以(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)=8rs
由欧拉公式得R>=2r即8rs<=4Rs
所以(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)<=xyz
再考虑不全大于0且没有等于0时
(1)只是两个大于0显然成立
(2)只是一个大于0   由于左式是个轮换式
我们只考虑一种即x-y+z>0,y-z+x<0,z-x+y<0易得y<0显然不成立即无此情况
然后考虑至少有一个等于0显然成立
综上所述结论得证

kuing

都提示到这么明显了，别懒了自己试试吧

5601706

OK.写个过程吧...

kuing

同上

元蛟

先换元a=x/y,b=y/z,c=z/x
后面就好做咯