极端原理的几道简单练习题

lzk05_lzk0530

1.证明x^3+2*y^3=4*z^3没有正整数解
2.平面上有n（n大于等于5）个点，将其用红蓝两色染色，设任何三个同色点不共线，求证存在一个三角形：（1）它的三个顶点同色（2）这三角形至少有一边上不包含另一种颜色的点

战巡

2
(1)5个点涂两种颜色,肯定存在3个同颜色的点,这三个点就是符合条件的三角形
(2)题目什么意思???

castelu

厉害

zhangyuong

x^3+2*y^3=4*z^3右边能被4整除，因此左边也必然能
设x=2k
8k^3+2y^3=4z^3即4k^3+y^3=2z^3因此y也是偶数
设y=2j
4k^3+8j^3=2z^3即2k^3+4j^3=z^3，因此z也是偶数
所以满足方程x^3+2y^3=4z^3的一切正整数解(x,y,z)必然都是偶数
所以(x/2,y/2,z/2)也必然满足方程，而由上可知
(x/2,y/2,z/2)也是偶数，因此
(x/2^n,y/2^n,z/2^n)(n→∞)都是偶数，并且满足原方程
所以这样(x,y,z)=(0,0,0)而这与题设矛盾
因此不存在这样的正整数解