看战巡“作图”一题的感想

appletree444

今天看了战巡要求只用标准尺规中的直尺给一已知圆心的定圆五等分的题目。我倒是没做出来（太难了），我目前只能单用直尺为该圆中某一直径作垂线。
忽然想到以前看到的一个只用直尺做某一圆外定点切线的方法，不过不会证明，还请高手们细细讲解。

如图，圆外一定点A，过A作两弦EC，FD。连接CF和ED交于H，DC和FE的延长线交于B，连接BH并延长交圆于G和M。求证：AG和AM是点A到该圆的切线。

高斯门徒

设AM’与圆相切于M’，M、M’在弦DF同侧，BM’交圆于G’
则△BCG’∽ △BM’D，△AM’D∽△AFM’， △BM’F∽△BEG’
∴BC/BM’=CG’/M’D，AM’/AF=M’D/FM’，AD/AM’=M’D/FM’，BM’/BE=M’F/EG’
以上四式相乘，得：BC/BE*AD/AF=CG’/FM’*M’D/EG’
两边同乘以EF/CD，得：BC/CD*DA/AF*FE/EB=CG’/G’E*EF/FM’*M’D/DC
对△BDF与直线CEA，使用梅涅劳斯定理，得
BC/CD*DA/AF*FE/EB=1
∴CG’/G’E*EF/FM’*M’D/DC=1
由塞瓦定理的逆定理，知DE，CF，G’M’交于一点，此点为H
直线G’M’过B，H两点，与直线BH重合，所以M’即是M
∴AM与圆相切
同理可证AG与圆相切

appletree444

不好意思，我原先把CA和AE的位置弄反了。多谢指正。现在改过来，如下：

qtstc

我最近不知道怎么搞的不能编辑帖子,一编辑就变成发新帖了,不知道大家有没出现这种情况,
拜托管理删掉多余的楼并把 不知道是画错了来是怎么了. 改成 不知道是画错了还是怎么了.
谢谢了...

qtstc

没看懂12L的证明.我用几何画板画出来以后发现那个式子好象不成立= =不知道是画错了来是怎么了.

qtstc

没看懂12L的证明.我用几何画板画出来以后发现那个式子好象不成立= =不知道是画错了来是怎么了.

appletree444

不过总觉得这样的证明不太“正统”，还是期待高手们的指教，呵呵。

appletree444

可以用第一题的结论来证其余两个方法的证明。下以第二个方法为例。如图，从图中左侧可知点P在两切点M和N所连成的线段上。同理点Q亦是如此。故而P和Q和M和N四点共线。命题得证（对于方法3也可以如法炮制）。

appletree444

十分感谢楼上的提示，第一个方法的证明终于有了，不过到最后一步还是有点反证法的味道，希望有人能给出纯粹一点的几何证法。提示本身不难证，而且AG和AM证法差不多。下面我就从提示的这一步作为起点开始证明（以AG为例）。如图：

jyc06

第一个题目用 CG/GE*EF/FM*MD/DC=1试试

appletree444

是的，我还想知道第一个方法的证明，请教各位高手，呵呵。

qtstc

求2L,4L的证明.
5L的我想了半天都没想出来..然后突然发现M其实就是垂心= =

战巡

现在我在想一个问题：已知一圆和圆心，能不能作圆上一点的切线（之前给的都是圆外的一点），只用直尺？
appletree444 发表于 2009-8-24 12:53

这个是可以做到的，我以前研究整个纯直尺作图系列问题的时候做出来过，不过还是像我在《作图》那边说的——先从简单的做起，先把作垂直、平行、线段中点、角平分线之类的基本问题解决再说，解决了以后这些就可以直接当做步骤使用，而不需要再写了

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现在我在想一个问题：已知一圆和圆心，能不能作圆上一点的切线（之前给的都是圆外的一点），只用直尺？