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[已解决] 求证两个式不能同时为完全平方数

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楼主
发表于 2009-9-10 16:03:33 | 只看该作者 回帖奖励 |正序浏览 |阅读模式
x,y都是自然数,求证:x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方数.

拜托了.
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12#
发表于 2010-8-8 22:01:24 | 只看该作者
?
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11#
发表于 2010-8-8 09:29:22 | 只看该作者
:shuai:shuai
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10#
发表于 2009-10-5 13:22:51 | 只看该作者
:db
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9#
发表于 2009-9-23 20:27:53 | 只看该作者
..........
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8#
发表于 2009-9-17 22:08:43 | 只看该作者
7# 石崇的BOSS
是纯洁
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7#
发表于 2009-9-17 21:57:42 | 只看该作者
5# qtstc  
是CJ的小男生?
474394820 发表于 2009-9-17 13:48

CJ是什么意思?
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6#
发表于 2009-9-17 13:48:03 | 只看该作者
5# qtstc
是CJ的小男生?
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5#
 楼主| 发表于 2009-9-12 22:47:54 | 只看该作者
本帖最后由 qtstc 于 2009-9-17 21:56 编辑

下面是小爱给出的解法,很巧妙的,大家看看吧
我也来学BOSS,嘿嘿- -.....

游客,如果您要查看本帖隐藏内容请回复
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地板
发表于 2009-9-11 09:40:19 | 只看该作者
不好意思,我觉得昨天我的思路貌似有问题。我再想想吧。
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板凳
 楼主| 发表于 2009-9-10 23:18:04 | 只看该作者
太乱了...晚上精神不好,明天早上再来看,
总之先谢谢LS
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沙发
发表于 2009-9-10 22:03:37 | 只看该作者
我的想法是这样的:假设x^2+y+1是完全平方数,只需证明y^2+4*x+3不可能是完全平方数即可。
不妨设x^2+y+1=x^2+2*a*x+a^2,其中a是自然数。即y+1=2*a*x+a^2,y=2*a*x+a^2-1。把它代入y^2+4*x+3中得4*a^2*x^2+4*(a^3-a+1)*x+(a^4-2*a^2+4),如果这个式子是完全平方数的话那么x的一次项可分解为2*(2*a*x)*[(a^3-a+1)/(a)],必须使得(a^3-a+1)/(a)是自然数n>0。即(a^3-a+1)/(a)=n。故而a^3-(n+1)*a+1=0关于a有整数解,即a*(a+1)*(a-1)-(n*a-1)=0关于a有整数解,那么n只能为1,故有(a^2+a-1)*(a-1)=0。故a=1。此时y=2*x,y^2+4*x+3=4*x^2+4*x+3=(2*x+1)^2+2,显然不是完全平方数。故而两式子的值不能同时为完全平方数。
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