证三点共线

qtstc · 发表于 2009-9-11 22:40:03

本帖最后由石崇的BOSS 于 2009-9-17 21:34 编辑

过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和CB、CA、AB的延长线交于点D、E、F，则D、E、F三点共线.

晕死想了我一个多小时了提示是用梅涅劳斯定理的逆定理...
但我含有ED和DF的相似一个也没找到...然后就无法表示出ED和DF,根本做不下去.........

还请大家帮下忙吧..

高斯门徒 · 发表于 2009-9-23 11:16:35

LS 3Q

zhangyuong · 发表于 2009-9-21 22:55:59

就是MENELAUS定理
然后用分角定理来转化
BD/DC=SΔABD/SΔACD=AB*AD*sinBAD/AC*AD*sinCAD=AB/AC*sinBAD/sinCAD
其他同理

高斯门徒 · 发表于 2009-9-21 16:37:59

4# zhangyuong

为什么
sinBAD sinCBE    sinACF
-------- * --------- *  --------- =1
sinCAD sinABE    sinBCF

就共线了？？？求原理

数学瓜 · 发表于 2009-9-19 21:47:42

虽然不知道梅NE劳斯定理、但那边好像是用正弦定理化的啊。

zhangyuong · 发表于 2009-9-18 23:18:35

写错了
应该是
sinBAD sinCBE    sinACF
-------- * --------- *  --------- =1
sinCAD sinABE    sinBCF
代进去一样

qtstc · 发表于 2009-9-17 23:06:13

看了半天没弄明白...
为什么sinABD sinBCE sinCAF
-------- -------- ------- =1,
sinACD sinBAE sinCBF
E,D,F就共线了呢?
谁看懂了能再把具体过程写下.
另外谢谢ZY.

zhangyuong · 发表于 2009-9-16 23:25:48

不是很简单的Menelaus直接运用么。。。
将Menelaus换成用角表示的等价形式之后
也就是等价于
sinABD sinBCE sinCAF
-------- -------- ------- =1
sinACD sinBAE sinCBF
代进去之后就相当于
sinB/sinC*sinC/sinA*sinA/sinB=1显然成立

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