几何第26题

里亦维奇

在以O为顶点的角上取一点A,在另一条边上取两点B,C.且B在O,C之间.作△OAB的内切圆M.作△OAC的旁切圆N.若AM=AN,求证：△ABC为等腰三角形.

qtstc

我倒- -天下悲剧

战巡

呵呵，好~~~

我解释一下为什么这样做
假设已知AB=AC，证AM=AN的做法是我一眼就看出来了的....但反过来我一下子看不出解法
于是索性不想这么多了，直接上同一法，这就出来了....

顺便说一下，我这人做题从来不喜欢按正道来...给的解法多半不是正解，不是偏方就是诡计，基础不好的可别学我啊......

高斯门徒

LS正解

叶~

大哥,你费劲的可以....
其实暴简单,几个角之间的关系就弄出来了
证:注意到O,M,N共线
把这两个角用图中的基本量表示,有
角AMN=1/2角O+1/2角OAB
角ANM=1/2角CAD-1/2角O       这里,AD表示OA延长线
再把角ABC,角ACB表示出来
角ABC=角O+角OAB
角ACB=角CAD-角O

马上得到2角AMN=角ABC,2角ANM=角ACB

△ABC为等腰三角形等价△AMN等腰

战巡

呵....
这个要是知道AB=AC，证AM=AN倒是容易...

既如此，那就想办法换过来吧.....
先假设已知AB=AC，证AM=AN
此时显然M，N都是△ABC旁心，MB，NC都是角平分线
∠ABC=∠ACB，∠ABM=∠ACN
且易证∠AMB=90+∠O/2，∠ANC=90-∠O/2
所以∠AMB+∠ANC=180，sin∠AMB=sin∠ANC
由正弦定理可得AM/sin∠ABM=AB/sin∠AMB，AN/sin∠ACN=AC/sin∠ANC
所以AM=AN

好，现在来证这个
在OB上找一点C'，使得AB=AC'，再作△ABC'的旁切圆N'
由上面可以证明AM=AN'
而显然M，N，N'都在直线OM上，一个点A到一条直线距离相等的点撑死也就2个，M算一个，现在AM=AN=AN'，出来3个，显然不可能，只能是N，N'重合，这样就有C，C'重合，剩下好办..