作图

战巡

平面上给定一个圆,并给出它的圆心,只用直尺,将这个圆5等分

提示:要解决这个问题,必须先解决一些基础的问题——给定一个圆和它的圆心,只用直尺,作已知直线的垂线,作线段的中点,角的平分线等等,首先证明这些东西的做法,然后这些做法就可以直接当一个步骤来使用

kuafuzhuiri

还真够复杂的

战巡

我觉得我的方法就是把几何给坐标化，但是这种方法不适用于n等分圆周的问题（过程太多了）。希望看到战巡解决问题的方法。也希望有人能帮我解决“看战巡作图一题的感想”中关于做切线问题的证明，呵呵。
appletree444 发表于 2009-8-25 20:45

呵呵，好~
楼上两位肯用心去思考这个问题，不负我出题之本意
即以做出，我当公布我的答案
[localimg=150,150]2[/localimg]
我的作法可能比较奇怪，当年曾开发过一种正五边形作法，无需用圆，仅仅借助黄金分割的性质，这里就用的这种方法
线比较多.......各位耐心看.......
作法：如图

1、作直径AB，并过O作OC⊥AB，过B作BD⊥AB
2、过C作直线CD∥AB，交BD于D，连接AD
3、分别作∠BDA、∠BAD平分线DE、AG，然后过B作BF⊥DE交AD于F，过F作FH⊥AG交AB于H
4、在射线OC上任取一点I，连接IA、IH、IB，分别交直线CD于L、J、S
5、作射线OJ交IB于K，作射线KC交AB于T、射线KL交AB延长线于M
6、过T作NP⊥AB，连接ON、OP
7、过A作AQ⊥OP交圆O于Q，连接OQ，过P作PR⊥OQ交圆O于R
点N、A、P、Q、R即为所作

证明：
易证BD=AB/2，BD=DF，AF=AH，因此H为AB黄金分割点

由于CD∥AB，可知CL/AO=CJ/OH=JS/BH，由于H为AB黄金分割点，因此J为SL黄金
分割点，而且C为SL中点

然后在此等比例平移——CL/MT=CJ/TO=SJ/BO，因此T为MB中点，O为MB黄金分割点

这样可知，ON=OB，而此正是仿照正五角星之作法，可知∠NOT=∠POT=72度

而AQ⊥OP，可知∠AOP=∠QOP=72，同理∠QOR=72，因此N、A、P、Q、R将圆O五等分

appletree444

我觉得我的方法就是把几何给坐标化，但是这种方法不适用于n等分圆周的问题（过程太多了）。希望看到战巡解决问题的方法。也希望有人能帮我解决“看战巡作图一题的感想”中关于做切线问题的证明，呵呵。

appletree444

呵呵，我也想出了一个方法。
如果以圆的半径为单位1，那么圆心到圆内接正五边形一边的距离是（1+根号5）/4。故而用上述的方法可以先配出边长为根号5的线段（一端点在圆心）。再取其与半径的和，得到线段AB，再把AB四等分得到AC，最后把AC平移到OE，过E做OE的垂直弦FH，则FH就是正五边形的边长了。解法如图，不过可能过程有点复杂。如图：

高斯门徒

LS的把任意位置长度在一个单位到两个单位之间的线段平移到圆上的做法使我知道了怎么把FC移到圆上,继而解决了圆5等分

按LS的方法把FC平移到圆上记为AB
连OA和OB   作AC垂直于OB交圆于C连BC即BC=AB
至此用直尺把圆5等分解决了

appletree444

想到一种把任意位置长度在一个单位到两个单位之间的线段平移到圆上，使其两个端点恰好在圆上的方法了（不过只能平移）。如左图：先任意找圆上一点C做CE//AB交圆于E，做BF//AC交CE于F，作出EF的中点D，作GD垂直EF，再作GH//AB交圆于H，则有弦GH=AB。
还有可能遇到另外一种情况，这时就用右图处理，方法与上述类似（右图E为DF中点，GE垂直于CD）。

appletree444

至于过圆外一点做圆的切线，我也找到几种方法，不过还不会证明，请高手们帮忙一下吧。具体方法我附在“看战巡作图一题的感想”里了。

appletree444

这里附上我做圆内接等边三角形和把圆内一条弦n等分（这里n取3）的一些过程图。

appletree444

吸收完前面高手的“富矿”，我突然有一点小小的想法，不如将其称为“坐标法”吧。现在讲述如下：

第一步

假设已知圆半径为1个单位。依照474394820 所言：先做两条相互垂直的直径（做法见14楼的474394820 ）。如图，以其中一条直径的两端点做平行于另一条直径的直线（做法见14楼的474394820 的(3)）。对于另外一条直径也如法炮制，这样，就把这个已知圆包围在一个“田”字中间，圆心正好是“田”的正中心，过圆心横着的直线不妨称为X轴,竖着的不妨称之为Y轴。如图，连接B0X1并延长交X轴上面一条平行线于A1，连接A0X1并延长交X轴下面一条平行线于B1；连接A1B1交X轴于X2，则X2到圆心的距离是2个单位。过A1作A0B1的平行线交X轴于X3，X3距离圆心是3个单位。连接B1X3延长交于A2，连接A1X3延长交于B2，连接A2B2交于X4，则X4到圆心是4个单位。以此类推，可在X轴上作出无数个（实际中我们可根据需要取）整数（包括负数）单位的坐标。同理Y轴亦是如此。然后对X轴上每一个整数点做Y轴平行线，对Y轴上每一个点做X轴的平行线。这样就得到了一个坐标网格。这个坐标网格的好处是，我们可以在其中找到不是整数单位距离的线段，比如说长度为根号3，根号5，根号6，根号7之类的线段。为简单起见，我们把这类线段其中一个端点定在原点。

至此，第一步结束。第二步开始了。

有人觉得光是坐标轴上只有整数点不好用，接下来我们要做的就是改善这一点，让坐标轴上不光可以有整数，还可以有一些分数和无理数。第二步其实跟第一步差不多，撤去第一步所建的网格，只保留下我们所需用到的某一条长度是无理数的线段（注意此时这条线段的一个端点是圆心），我们完全可以以这条线段所在直线作为新的X轴，做一条垂直于的它的直径，以这直径所在的直线作为新的Y轴。这样，又可以做新的坐标网格了。这样可以做一些长度为有理数和无理数之差（或和）的线段。

第三步，继续第二步的工作……

如此下去，而且坐标网格也不限于直角坐标。如果我们可以在头几步就产生一个60度的话，我们也可以建立等边三角形的网格。

我的想法也就到这里了，不过不知道“坐标法”是否有它的局限性，希望高手点评一下。

高斯门徒

(1)取半径的中点比较简单

(2)在尺规作图的条件下圆5等分的方法是

AB垂直CD  E是OB中点  EF=EC   即CF是正五边形的边长
(3)画EF=EC
第一步做角AEC的角平方线
(MO平行CE,N是AM中点即ON平分角AOM) 再过E点做ON平行线  即第一步解决
第二步如图
易做EF=EC
(4)我的思路是把(2)直尺化    最后怎么把FC移到圆上(待解决中)

appletree444

前面两楼的内容就是一个富矿，我在此好好吸收一下了。

高斯门徒

过直径外一点P(P在圆内)作直径AB的垂线
连AP和BP交圆于C,D  连AC和BD交于E 即EP垂直于AB

战巡

(1)过圆上一点做已知直径的垂线
连AP并延长AP在AP延长线上随便取一点H连HB交圆于F
连AF和BP相交于M  连HM并延长HM交AB于N
连FN并延长FN交圆于E  连PE  即PE垂直于AB
1071
(2)取弦的中点
连AO和BO并延长分别交圆 ...
474394820 发表于 2009-8-25 09:09

呵呵，不错
既如此，我先公布一部分基础作图的方法

1、过直径外一点P(P不在圆上)作直径AB的垂线
作法：如图

1、作直线PA、PB，与圆O交于C、D
2、作直线AD、BC交于H
3、作直线PH
直线PH即为所作
证明：易证H为△PAB垂心

2、作给定弦AB的中点
作法：如图

1、作直线AO、BO，交圆O于C、D，连接CD
2、任找一点Q，连接AQ、BQ交CD于E、F
3、连接AF、BE交于R
4、作直线QR交AB于M
点M即为所作
证明：易证CD平行AB，然后对△QAB用塞瓦定理即可

下面的作图中为了方便，直接使用上面的作法作为步骤
3、过一点P作已知弦AB的平行线
作法：如图

1、连接BP、AP，并在AP延长线上任取一点C
2、作弦AB中点M，连接CM交BP于D，连接BC
3、作直线AD交BC于E，作直线PE
直线PE即为所作
证明：对△CAB用塞瓦定理即可

由2、3两个作法可见，有中点便可作平行，有平行便可作中点

4、过给定点P(P在直径AB所在直线上或P在圆O上)作直径AB的垂线
由于此时无法用1中的办法作垂直，只好另辟蹊径
作法：如图

1、任找一点Q(Q不在AB上，也不在圆O上)
2、过Q作AB垂线QM
3、过P作QM平行线l  (作平行时需要中点，而直线QM上的弦中点就是M，直接用即可)
直线l即为所作
P在圆上时类似
这个就不用证明了吧.....
这以后，我们就可以过任一点作给定直径的垂线了

5、过一点P作已知弦AB的垂线
作法：
1、过O作AB平行线CD，即CD为直径
2、过P作CD垂线l
直线l即为所作
这个太简单了.....图都费事给了....

6、过一点P作任意一条直线l的平行线
由3可知，要作一条直线的平行线，必然需要有这条直线上一个线段并已知其中点
为此，这里就要想办法在l上构造一个线段并搞出它的中点
作法：如图

1、任意作直径AB(别太特殊，别和l垂直就好)
2、过A、B、O作AB的垂线AC、BD、OE
这就出现了线段CD，而且E为CD中点
3、利用线段CD和其中点E，可过P作l1平行l
直线l1即为所作
证明就不用了吧......
有了这个东西，就可以实现直线、线段的平移了

7、作已知角∠AOB的角平分线
作法：如图

1、延长AO交圆于C，连接BC
2、过O作BC平行线OD
直线OD即为所作
证明：易证∠C=∠AOB/2，因此∠AOD=∠C=∠AOB/2，OD平分∠AOB
如果一个角的顶点不在圆心怎么办？——用6的方法平移到圆心，作出角平分线后再平移回去即可

先公布这么多~~~
后面还有作圆内接正三角形、n等分圆内一线段、过圆外一点作圆切线等，最后才是作圆内接正五边形

高斯门徒

(1)过圆上一点做已知直径的垂线
连AP并延长AP在AP延长线上随便取一点H连HB交圆于F
连AF和BP相交于M  连HM并延长HM交AB于N
连FN并延长FN交圆于E  连PE  即PE垂直于AB

(2)取弦的中点
连AO和BO并延长分别交圆于N,M
过B作AN垂线交AN于E 过A做BM垂线交BM于F
连AF和AE相交于H  连OH并延长交AB于Q 即Q是弦AB的中点

(3)过弦(包括直径)外一点做已知弦的平行线
取AB中点M  连AP和BP  随便在AP上S(不是中点) 连SM和SB
延长MS和BP交于Q  连AQ  延长BS交AQ于H   连PH  即PH平行于AB(用塞瓦定理易证)

(4)做两条相垂直的直径
在圆上随便取两点A,B 过O作AB的平行线交圆于C,D
取AB中点E 作直线OE交圆于M,N  即MN垂直于CD

(5)已知圆上一点作已知圆的切线
用(3)和(4)的结论易做