有关导数的一个问题。

噢数学 · 发表于 2010-10-13 18:56:30

函数f(x)在区间(a,b)上可导，则其导函数f'(x)在区间(a,b)上是否连续？

ylx977 · 发表于 2010-12-4 16:50:21

本帖最后由 ylx977 于 2010-12-4 16:51 编辑

函数f(x)在区间(a,b)上可导，则其导函数f'(x)在区间(a,b)上是不一定连续的

楼上的可能都没答完全。

给个例子：f(x)=x^2*sin(1/x)，当x≠0
f(x)=0，当x=0

f(x)在其定义域内是连续的，而且处处可导，在x=0处f’(0)=0

但是f'‘(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)，当x≠0
f'(x)=0，当x=0

明显f'(x)在x=0处不连续。

而且还能得出一个结论就是：函数f(x)在区间(a,b)上可导，则其导函数f'(x)在区间(a,b)上是不一定连续的。
且如果不连续，那么不连续点一定是第二类间断点！

树~~ · 发表于 2010-10-14 19:01:53

不一定连续的。
可以举出实例。
这个问题如果要深入讨论，就有很多好说的了。

zyzme · 发表于 2010-10-14 12:18:25

是连续的。
不过，f'(x)在区间(a,b)上不一定是可导的。

yefan852 · 发表于 2010-10-13 22:25:47

必然连续，可以用定义证明。

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