预选试题及建议

zhangyuong · 发表于 2012-6-28 12:09:39

1.设$P$是$\Delta ABC$内一点，并且满足$\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA = \omega$，求证：

$3\sin \alpha = \sin(2A+\alpha) + \sin(2B+\alpha) + \sin(2C+\alpha)$

及

$\cot \omega=\cot A+\cot B+\cot C$

两条结论事实上是等价的，鉴于第二条结论更广为人知（本题即为$Brocard$点的最简单性质），所以可以以第一问作为提问

建议难度：中等偏难
建议分类：高中

考点：三角变换，塞瓦定理

zhangyuong · 发表于 2012-7-2 10:32:19

23.正整数列$a_1<a_2<a_3<\cdots$满足$a_1=1$，且当$n \in N^+$时，

$a_{n+1}<2n$

证明，对每个$n \in N^+$，在数列$\left\{a_n\right\}$中总有两个项$a_p$和$a_q$，使得

$a_p-a_q=n$

zhangyuong · 发表于 2012-7-2 10:30:19

22.证明，存在数$A$和$B$，使得对每个$n \in N^+$，有

$a_1+a_2+\cdots+a_n=A\tan n+Bn$

其中
$a_k=\tan k \cdot \tan(k-1)$

zhangyuong · 发表于 2012-6-30 06:04:11

21.设四面体$ABCD$中，$AB \bot CD$，$AC \bot BD$，求证：$AD \bot BC$

建议难度：中等
建议分类：高中

考点：空间向量

zhangyuong · 发表于 2012-6-30 05:08:15

20.三角形的最大边的边长为$1$，以它的三个顶点为圆心各作一个半径为$\frac{\sqrt 3}{3}$.证明：这三个圆盖住了整个三角形

建议难度：简单
建议分类：高中

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 12:50:11

19.在凸五边形中任取两点，证明：可以在五边形的顶点中任取四点连成四边形，使得所选的两个点都在其内部。

建议难度：简单
建议分类：初中或高中均可

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 06:31:01

18.实数$x$满足$x^3=x+1$。证明：

$x^{3n}=a_n x + b_n + \frac{c_n}{x}$

其中

$
\left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=a_n + b_n\\
b_{n+1}=a_n + b_n + c_n\\
c_{n+1}=a_n + c_n
\end{array} \right.
$

建议难度：简单
建议分类：高中

考点：数列递推，数学归纳法

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 06:27:37

17.已知数列$\left\{a_n\right\}$是正项等差数列，其中公差$d>0$，求证：

$\frac{a_1}{a_2}\frac{a_3}{a_4} \cdots \frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}< \sqrt {\frac{a_1}{a_{2n+1}}}$

建议难度：简单
建议分类：高中

考点：等差数列的性质，数学归纳法，基本的不等式的放缩

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 06:25:26

16.$\alpha,\beta \in R$，且满足$\cos \alpha \ne \cos \beta$，那么对所有$n \ge 2$的自然数，都有

$|\frac{\cos n\beta \cos \alpha-\cos n\alpha \cos \beta}{\cos \beta-\cos \alpha}|<n^2-1$

建议难度：中等偏难
建议分类：高中

考点：三角变换，绝对值不等式

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 06:22:24

15.$\Delta DEF$是$\Delta ABC$的外角平分线所交成的三角形，且$\Delta BCD$,$\Delta CAE$,$\Delta ABF$的内切圆与$\Delta ABC$各边分别切于$X$,$Y$,$Z$。求证：$DX$,$EY$,$FZ$三线共点

建议难度：难
建议分类：高中

考点：平面几何，几何基础量计算，塞瓦定理

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 06:14:55

14.已知定义在$[0,1]$上的连续函数$f(x)$，记$B_n (f,x)=\sum\limits_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n})C_n^k x^k(1-x)^{n-k}$。证明：

如果$m \le f(x) \le M$，那么$m \le B_n (f,x) \le M$

建议难度：中等
建议分类：高中

考点：组合恒等式

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 05:24:19

13.若函数$f(x)$满足$f(x)=f(\pi-x)$，求证：

$\sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\frac{2k+1}{4n}\pi) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\frac{4k+1}{4n}\pi)$

建议难度：中等偏易
建议分类：高中

考点：抽象函数的理解和运算

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 05:22:30

12.任意给定三空间向量$\vec a$,$\vec b$,$\vec c$,求证：

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b(\vec a \cdot \vec c) - \vec c(\vec a \cdot \vec b)$

建议难度：中等偏难
建议分类：高中

考点：向量积的计算，坐标表示

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 05:19:32

11.设$A,B,C$是复的常数，$z$表示一复变量，证明：
$A+ \bar A + B\bar z + \bar B z + (C+ \bar C )z \bar z =0$表示的是任意圆的方程（包括退化情况）

建议难度：中等
建议分类：高中

考点：复数计算，共轭复数和复数模的关系，复数的几何意义

亦可对$A,B,C$取特殊值，然后作为填空题

设问一：
（填空题）如果$i$表示复数单位，$z$表示一复变量，那么圆的方程：$72+(5-12i)\bar z + (5+12i)z + 2z\bar z =0$所表示的圆的半径大小为_____.

建议难度：简单
建议分类：高中

zhangyuong · 发表于 2012-6-29 04:58:07

10.设$z$,$z'$为任意两复数，记$u=\sqrt{zz'}$，求证：

$|z|+|z'|=|\frac{z+z'}{2}+u|+|\frac{z+z'}{2}-u|$

建议难度：中等偏易
建议分类：高中
考点：向量几何意义，复数的向量表示，复数运算

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