方程实根命题判断

极光

关于$x$的方程$(x^2-1)^2-|x^2-1|+k=0$，给出下列命题
（1）存在实数$k$，使得方程恰有$2$个不同实根
（2）存在实数$k$，使得方程恰有$4$个不同实根
（3）存在实数$k$，使得方程恰有$5$个不同实根
（4）存在实数$k$，使得方程恰有$8$个不同实根
其中假命题个数是（）
A.$0$　B.$1$　C.$2$　D.$3$

极光

谢谢啊，知道了

zhangyuong

答案是$A$
令$t=|x^2-1|$，记左边的函数为$f(x)$，那么$f(-x)=f(x)$，因而$f(x)$是个偶函数。所以除了$x=0$，根必成对出现。
①令$x=0$，那么$t=1$，从而$k=0$。而在$k=0$的情况下，关于$t$的方程有两根：$t=0$以及$t=1$
在$t=1$时，$x=0$或$x^2=2$；在$t=0$时，$x^2=1$。因此只要$x=0$是其中一个根，原方程就有$5$个不同的实数根
$x!=0$时，由上面讨论可知根必然是成对存在的。
②当$k=\frac{1}{4}$时，$t=\frac{1}{2}$，所以$x^2=\frac{1}{2}或\frac{3}{2}$，此时有$4$个不同实数根；
③当$k=\frac{1}{8}时$,则$t$有两个不同的正数解，并且$|t|<1$，所以$x^2=1+-t_1$，$x^2=1+-t_2$，此时有$8$个不同实数解；
④当$k<0$时，由韦达定理，$t_1+t_2=1$,$t_1t_2=k<0$，因而有一个解$t_1$是负数，并且正数解$t_2$要比1大，所以将负的$t_1$舍去，就有$x^2-1=t_2$，所以此时只有$2$个不同的实数解