有关e^(-x^2)的无穷积分

castelu

有关e^(-x^2)的无穷积分

　　我们知道，不定积分$\int e^{-x^2}{\rm d}x$的原函数不是初等函数。但是，无穷积分$\int_0^{+\infty} e^{-x^2}{\rm d}x$的值是可求的。
　　我们计算$\int_0^{+\infty} e^{-x^2}{\rm d}x$的值，有两种方法：
1.含参量反常积分
设
$$J=\int_0^{+\infty} e^{-x^2}{\rm d}x$$
利用变量代换$x=ut$，则${\rm d}x=u{\rm d}t$，即有
$$J=\int_0^{+\infty} e^{-x^2}{\rm d}x=\int_0^{+\infty} ue^{-u^2t^2}{\rm d}t$$
等式两边同时乘以$e^{-u^2}$，即有
$$e^{-u^2}J=\int_0^{+\infty} ue^{-u^2(1+t^2)}{\rm d}t$$
等式两边同时取关于变量$u$在$[0,+\infty)$上的无穷积分，即有
$$\int_0^{+\infty} e^{-u^2}J{\rm d}u=\int_0^{+\infty} [\int_0^{+\infty} ue^{-u^2(1+t^2)}{\rm d}t]{\rm d}u$$
等式左边恰好是所求无穷积分的平方，即有
$$J^2=\int_0^{+\infty} {\rm d}t \int_0^{+\infty} ue^{-u^2(1+t^2)}{\rm d}u=-\frac{1}{2}\int_0^{+\infty} \frac{e^{-u^2(1+t^2)}}{1+t^2}|_0^{+\infty} {\rm d}t$$
$$=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2}{\rm d}t=\frac{1}{2} \arctan t |_0^{+\infty}=\frac{\pi}{4}$$
由于被积函数恒为正，所以$J>0$，于是
$$J=\int_0^{+\infty} e^{-x^2}{\rm d}x=\frac{\sqrt \pi}{2}$$

2.二重积分
$$\forall R>0，(\int_0^R e^{-x^2}{\rm d}x)^2=\int_0^R e^{-x^2}{\rm d}x \cdot \int_0^R e^{-y^2}{\rm d}y=\int_0^R \int_0^R e^{-(x^2+y^2)} {\rm d}x{\rm d}y$$
规定
$$D_{R_1}：x^2+y^2=R^2，x>0，y>0$$
$$D_{R_2}：x^2+y^2=2R^2，x>0，y>0$$
成立不等式
$$\int\int\limits_{D_{R_1}} e^{-(x^2+y^2)} {\rm d}x{\rm d}y \le \int_0^R \int_0^R e^{-(x^2+y^2)} {\rm d}x{\rm d}y \le \int\int\limits_{D_{R_2}} e^{-(x^2+y^2)} {\rm d}x{\rm d}y$$
利用极坐标变换$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则${\rm d}x{\rm d}y=r{\rm d}r{\rm d} \theta$，即有
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^R e^{-R^2} r{\rm d}r{\rm d} \theta \le (\int_0^R e^{-x^2}{\rm d}x)^2 \le \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sqrt 2R} e^{-R^2} r{\rm d}r{\rm d} \theta$$
关于$r$积分，得到
$$-\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (e^{-R^2}-1) {\rm d} \theta \le (\int_0^R e^{-x^2}{\rm d}x)^2 \le -\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (e^{-2R^2}-1) {\rm d} \theta$$
关于$\theta$积分，得到
$$\frac{\pi}{4}(1-e^{-R^2}) \le (\int_0^R e^{-x^2}{\rm d}x)^2 \le \frac{\pi}{4}(1-e^{-2R^2})$$
令$R \to +\infty$，根据夹逼准则
$$(\int_0^{+\infty} e^{-x^2}{\rm d}x)^2=\frac{\pi}{4}$$
由于被积函数恒为正，所以
$$\int_0^{+\infty} e^{-x^2}{\rm d}x>0$$，
于是
$$\int_0^{+\infty} e^{-x^2}{\rm d}x=\frac{\sqrt \pi}{2}$$

Txia

这不是那个Gamma函数嘛

castelu

积分区间应该是$0$到$\frac{\pi}{2}$

jsliwenyun

呃，这个好像是概率积分。
对这个我有两个解法，其实都是一样的，不过实在想不明白错误的那个怎么错，求助。